Задание 18
Найдите все значения параметра a, при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение.
Решение.
Запишем уравнение в виде
и сделаем замены и Тогда уравнение примет вид
(*)
Заметим, что Значит, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение, если уравнение (*) имеет хотя бы одно решение на отрезке
Построим график уравнения (*) на отрезке в системе координат tOb (см. рис. выше). Уравнение (*) имеет корни на отрезке при Таким образом, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при
Решим это двойное неравенство:
Задание 18
При каких значениях параметра a уравнение
имеет ровно 2 различных решения.
Решение.
В системе координат хOa изобразим ломаную, задаваемую уравнением все точки которой обращают числитель дроби в нуль, и параболу точки которой соответствуют нулям знаменателя.
Подставим второе уравнение в первое и решим полученное уравнение на x. Тем самым, найдем точки пересечения ломаной и параболы: и
Итак, заданное уравнение имеет ровно два решения, когда
|
|
Ответ:
Задание 18 №
Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно три различных решения.
Решение.
Запишем уравнение в виде и рассмотрим графики функций и График первой функции — парабола, график второй функции — угол с вершиной в точке а.
Уравнение будет иметь три различных решения, если вершина параболы совпадает с вершиной угла (рис. 1), или если одна из сторон угла касается параболы (рис. 2).
В первом случае и уравнение имеет три корня: 2, 4, 6.
Рассмотрим второй случай. Пусть правая сторона угла касается параболы. Уравнение должно иметь единственное решение.
Приведём уравнение к стандартному виду:
Из равенства нулю дискриминанта получаем
откуда
Если параболы касается левая сторона угла, получаем уравнение
Оно имеет единственное решение, только если
Ответ: 3,5; 4; 4,5.
Задание 18
Найдите все значения a, при которых уравнение
имеет ровно два решения.
Решение.
Пусть тогда, используя теорему, обратную теореме Виета, получим:
Значит, исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда график функции имеет с горизонтальными прямыми и ровно две общие точки. Эти прямые совпадают, если
При уравнение не имеет решений. Если то при а если то при имеем:
При неограниченном увеличении значения функции стремятся к нулю, причём, для функция f является возрастающей, а при — убывающей. Эскизы графиков изображены на рисунке.
Тем самым, при должны быть выполнены неравенства откуда при должны быть выполнены неравенства откуда
|
|
Ответ:
Задание 18 (для самостоятельного решения)
Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).