Задачи для контроля самостоятельной работы по Разделу №1

1.01. Точка обращается по окружности радиусом R = 1,2 м. Уравнение движения точки , где А = 0,5 рад/с, В = 0,2 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точки в момент времени t = 4 с.

1.02. По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=A₁+B₁t+C₁t­² и x₂=A₂+B₂t+C₂t­², где A₁ = 10 м; B₁= 1 м/с; C₁ = 2м/с²; А₂ = 3м; В₂=2м/с; С₂=0,2 м/с². В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения этих точек.

1.03. Определить полное ускорение в момент времени t = 3 с точки, находящейся на ободе колеса радиусом R=0,5 м, вращаю­щегося согласно уравнению , где А=2рад/с, В = 0,2 рад/с³.

1.04. Точка обращается по окружности радиусом R= 8 м. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки a_n = 4 м/с² .Вектор полного ускорения a образует в этот момент с вектором нормального ускорения a_n угол j = 60°. Найти скорость и тангенциальное ускорение точки.

1.05. Диск радиусом R= 0,2 м вращается согласно урав­нению , где А=3 рад; В = 1 рад/с; С = 0,1 рад/с³. Определить тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10с.

1.06. Тело массой т = 2 кг движется с ускорением, изменяющимся по закону  м/с². Определить силу, действующую на тело через время t = 5с после начала действия, и скорость в конце пятой секунды.

1.07. Сплошной шар массой т = 1 кг и радиусом R = 5 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Закон вращения шара выражается уравнением рад. В точке, наиболее уда­ленной от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Определить эту силу и тормозящий момент.

1.08. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имеющему радиус кривизны R = 100 м. Закон движения автомобиля выражается уравнением м. Найти скорость автомобиля, его тангенциальное, нормальное и полное ускорение в конце пятой секунды.

1.09. Материальная точка движется по окружности, радиус кото­рой R =20 м. Зависимость пути, пройденного точкой, от времени выражается уравнением  м. Определить пройден­ный путь, угловую скорость и угловое ускорение точки через t = 3 с после начала ее движения.

1.10. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 1 м согласно уравнению м. Найти скорость, тангенци­альное, нормальное и полное ускорение в момент времени t = 3 с.

1.11. При горизонтальном полете со скоростью V = 250 м/с снаряд массой m = 8 кг разорвался на две части. Большая часть массой m = 6 кг получила скорость V₁ = 400 м/с в направлении полета снаряда. Определить абсолютное значение и направление скорости V₂ меньшей части снаряда.

1.12. На тележке, свободно движущейся по горизонтальному пути со скоростью V₁ = 3 м/с, находится человек. Человек прыгает в сторону, противоположную движению тележки. После прыжка скорость тележки изменилась и стала равной u₁ = 4 м/с. Определить горизонтальную составляющую скорости u₂ человека при прыжке относительно тележки. Масса тележки m₁ = 210 кг, масса человека m₂ = 70 кг.

1.13. Орудие, жестко закрепленное на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом a = 30° к линии горизонта. Определить скорость отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью V₁ = 480 м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m =18 т. Масса снаряда m₁ = 60 кг.

1.14. Две одинаковые лодки массами m = 200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми скоростями V = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают груз массой m₁ = 20 кг. Определить скорости u₁ и u₂ лодок после перебрасывания грузов.

1.15. Снаряд, летевший со скоростью V = 400 м/с, разорвался на два осколка. Меньший осколок, масса которого составляет 40% от массы снаряда, полетел в противоположное направление со скоростью u₁ = 150 м/с. Определить скорость u₂ большего осколка.

1.16. Шар массой m₁ = 1 кг движется со скоростью V₁ = 4 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 2 кг, движущимся навстречу ему со скоростью V₂ = 3 м/с. Каковы скорости u₁ и u₂ шаров после удара? Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.17. Шар массой m₁ = 3 кг движется со скоростью V₁ = 2 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 5 кг. Какая работа будет совершена при деформации шаров? Удар считать абсолютно неупругим, прямым, центральным.

1.18. Шар массой m₁ = 4 кг движется со скоростью V₁ = 5 м/с и сталкивается с шаром массой m₂ = 6 кг, который движется ему навстречу со скоростью V₂ = 2 м/с. Считая удар прямым, центральным, а шары однородными, абсолютно упругими, найти их скорости после удара.

1.19. Шар массой m₁ = 5 кг движется со скоростью V = 1 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой m₂ = 2 кг. Определить скорости шаров после удара. Шары считать однородными, абсолютно упругими, удар – прямым, центральным.

1.20. Шар массой m₁ = 2 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы и при этом теряет 40% кинетической энергии. Определить массу m₂ большего шара. Удар считать абсолютно упругим, прямым, центральным.

1.21. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m₁ = 10 г со скоростью V = 300 м/с. Затвор пистолета массой m₂ = 200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k = 25 кН/м. На какое расстояние отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

1.22. Из пружинного пистолета с жесткостью пружины k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на Dх = 4 см.

1.23. Налетев на пружинный буфер, вагон массой m = 16 т, двигавшийся со скоростью V = 0,6 м/с, остановился, сжав пружину на Dx = 8 см. Найти общую жесткость k пружин буфера.

1.24. С покоящимся шаром массой т = 4 кг сталкивается такой же шар, движущийся со скоростью u = 1 м/с. Вычислить работу, совершенную вследствие деформации при прямом центральном неупругом ударе.

1.25. Масса снаряда т₁ = 10 кг, масса ствола орудия т₂ = 500 кг. При выстреле снаряд получает кинетическую энергию W _к1 = 1,5×10⁶ Дж. Какую кинетическую энергию получает ствол орудия вследствие отдачи?

1.26. Конькобежец массой т₁ = 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой т₂ = 2 кг со скоростью u = 10 м/с. На какое расстояние откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед m = 0,02.

1.27. Стальной шарик массой т = 50 г упал с высоты h = 1 м на большую плиту, передав ей импульс силы, равный F ×D t = 0,27 Н×с. Определить количество теплоты, выделившейся при ударе, и вы­соту, на которую поднимается шарик.

1.28. Камень, пущенный по льду со скоростью u = 1 м/с, прошел до полной остановки расстояние S = 5 м. Найти коэффициент трения камня о лед.

1.29. Водитель автомобиля начинает тормозить за 25 м до перекрестка. Сила торможения постоянна и равна F _тр = 3,8 кН. При какой скорости движения автомобиль успеет остановиться перед перекрестком, если его масса т = 10³ кг?

1.30. С башни высотой h = 25 м горизонтально брошен камень со скоростью u ₀ = 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня через t = 1 с после начала движения, если масса камня т = 0,2 кг, а сопротивлением воздуха можно пренебречь. Нулевой уровень потенциальной энергии камня выберите на поверхности Земли.

1.31. Тонкостенный цилиндр с диаметром основания D = 30 см и массой m = 12 кг вращается согласно уравнению ,где А = 4 рад; В = - 2 рад/с; С = 0,2 рад/с³. Определить действующий на цилиндр момент сил М в момент времени t=3 с.

1.32. На обод маховика диаметром D = 60 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Определить момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время t = 3 с приобрел угловую скорость w = 9 рад/с.

1.33. Нить с привязанными к ее концам грузами массой m₁ = 50 г и m₂ = 60 г перекинута через блок диаметром D = 4 см. Определить момент инерции блока, если под действием силы тяжести грузов он получил угловое ускорение e = 1,5 рад/с²

1.34. Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению , где А =2 рад/с; В =0,2 рад/с³. Определить вращающий момент М, действующий на стержень в момент времени t = 2 с, если момент инерции стержня I = 0,048 кг×м².

1.35По касательной к шкиву маховика в виде диска диаметром D = 40 см и массой m = 20 кг приложена сила F = 1 кН. Определить угловое ускорение e и частоту вращения n через 10 с после начала движения.. Радиус шкива r = 10 см. Силой трения пренебречь.

1.36. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязаны грузы массами т ₁ = 200 г и т ₂ = 250 г. С каким ускорением движутся грузы, если масса блока т = 400 г? Трение при вращении блока не учитывать.

1.37. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом R = 0,4 м и массой т = 50 кг приложена касательная сила F = 10 Н. Найти угловое ускорение колеса и время, через которое колесо будет иметь угловую скорость, соответствующую частоте п = 100 об/с.

1. 38. Маховик в виде диска массой т = 50 кг и радиусом r = 20 см был раскручен до частоты п = 480 об/мин и затем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остановился. Определить момент сил трения, если до остановки маховик сделал N = 200 оборотов.

1.39. Шар массой т = 10 кг и радиусом R = 10 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара j = А + Bt ³ – Ct ⁴, где В = 8 рад/с³; С = 1 рад/с⁴. Найти закон изменения момента силы, действующего на шар. Определить этот момент силы для момента времени t = 1 с.

1.40. На сплошной цилиндр массой т = 2 кг и радиусом R = 10 см намотана нерастяжимая и невесомая нить. Цилиндр может без скольжения катиться по горизонтальной плоскости. К концу нити приложена постоянная горизонтальная сила F = 2 Н. Определить ускорение центра масс.

1.41. На краю платформы в виде диска диаметром D = 2 м, вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси с частотой n₁ = 8 мин^-1 стоит человек массой m₁ = 70 кг. Когда человек перешел в центр платформы, она стала вращаться с частотой n₂ = 10 мин^-1. Определить массу т₂ платформы. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.42. На краю неподвижной скамьи Жуковского диаметром D = 0,8 м и массой m1 = б кг стоит человек массой m2 = 60 кг. С какой угловой скоростью w начнет вращаться скамья, если человек поймает летящий мяч массой m = 0,5 кг? Траектория мяча горизонтальна и проходит на расстоянии г = 0,4 м от оси скамьи. Скорость мяча v = 5 м/с.

1.43. Платформа в виде диска диаметром D = 3 м и массой m1 = 180 кг может вращаться вокруг вертикальной оси. С какой угловой скоростью w1 будет вращаться эта платформа, если по ее краю пойдет человек массой m2= 70 кг со скоростью v = 1,8 м/с относительно платформы?

1.44. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться вокруг вертикальной оси. На краю платформы стоит человек. На какой угол j повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя ее, вернется в исходную (на платформе) точку? Масса платформы m1 = 280 кг, масса человека m2 = 80 кг. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки.

1.45. Сплошной цилиндр массой т = 0,1 кг катится без скольжения с постоянной скоростью u = 4 м/с. Определить кинетическую энергию цилиндра, время до его остановки, если на него действует сила трения F = 0,1 Н.

1.46. Сплошной шар скатывается по наклонной плоскости, длина которой l = 1 м и угол наклона a = 30°. Определить скорость шара в конце наклонной плоскости. Трение шара о плоскость не учиты­вать.

1.47. Полый цилиндр массой т = 1 кг катится по горизонтальной поверхности со скоростью u = 10 м/с. Определить силу, которую необходимо приложить к цилиндру, чтобы остановить его на пути S = 2 м.

1.48. Маховик, имеющий форму диска массой т = 10 кг и радиусом R = 0,1 м, был раскручен до частоты n = 120 мин ^–1. Под действием силы трения диск остановился через время t = 10 с. Найти момент сил трения, считая его постоянным.

1.49. Маховик в виде диска массой т = 50 кг и радиусом R = 20 см находится в состоянии покоя. Какую работу надо совершить, чтобы маховик начал вращаться с частотой п = 10 об/с? Какую работу пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел бы меньшую толщину, но вдвое больший радиус?

1.50. Кинетическая энергия вращающегося маховика Е = 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента М маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения.

1.51. С какой скоростью движется электрон, если его кинетичес­кая энергия W _к = 1,02 МэВ? Определить импульс электрона.

1.52. Кинетическая энергия частицы оказалась равной ее энергии покоя. Какова скорость этой частицы?

1.53. Полная энергия протона W = 1876 МэВ. Найти скорость и кинетическую энергию протона.

1.54. Найти импульс, полную и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью, равной u = 0,7 с (с – скорость света в вакууме).

1.55. π-мезон – нестабильная частица. Собственное время жизни его с. Какое расстояние пролетит p-мезон до распада, если он движется со скоростью u = 0,9 с?

1.56. Найти собственное время жизни нестабильной частицы m -мезона, движущегося со скоростью u = 0,99 с, если расстояние, пролетаемое им до распада, равно S = 0,1 км.

1.57. Собственное время жизни p-мезона с. Чему равно время жизни p-мезона для наблюдателя, относительно которого эта частица движется со скоростью u = 0,8 с?

1.58. При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25%.

1.59. Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились на 75%.

1.60. Во сколько раз полная энергия движущегося дейтрона больше полной энергии движущегося электрона, если их скорости u = 0,6 с и u = 0,9 с (с –скорость света в вакууме)? Чему равны их кинетические энергии?