Числовые последовательности. Предел последовательности
Определение 1. Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция , определённая на множестве всех натуральных чисел
. Её обозначают
или
где
.
Число называется n –м (общим) членом последовательности, а число n – номером члена
.
Пример 1. 1) .
Тогда и т.д.
Последовательность имеет вид: .
2) .
Тогда ,
,
,
и т.д.
Последовательность имеет вид: 0; 1; 0; 1; 0; 1; .
Последовательность, у которой все члены принимают равные между собой значения, называется постоянной последовательностью.
Определение 2. Пусть задана числовая последовательность . Число a называется пределом этой последовательности, если для каждого заданного числа
найдётся такое натуральное число N, что для любого номера
выполняется неравенство
.
В этом случае пишут .
Иначе,
.
Определение 3. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а не имеющая предела - расходящейся.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
|
|
Определение 4. Последовательность называется бесконечно малой, если её предел равен нулю.
Определение 5. Последовательность называется бесконечно большой, если
.
Теорема. Если последовательность , где
, бесконечно большая, то последовательность
бесконечно малая. Верно обратное утверждение: если последовательность
бесконечно малая, то последовательность
бесконечно большая.
Теоремы о пределах последовательностей, связанные с арифметическими действиями
Теорема 1 (о пределе суммы). Если последовательности и
сходятся, то их сумма
тоже сходится и предел суммы равен сумме пределов:
.
Теорема 2 (о пределе произведения). Если последовательности и
сходятся, то их произведение
сходится и предел произведения равен произведению пределов:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Если последовательности и
сходятся, то их разность
тоже сходится и предел разности равен разности пределов:
.
Теорема 3 (о пределе частного). Если последовательности и
сходятся, причём
и
, то их частное
тоже сходится и предел частного равен частному пределов:
.
Пример 2. Найдите следующие пределы:
1)
2)
Задачи.
1. Записать последовательности:
1)
2)
3)
4)
5)
2. Найдите пределы:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)