Уравнения с разделяющимися переменными могут быть записаны в виде или
Замечание. Уравнения вида приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой
.
Решение некоторых типовых задач, рассматриваемых в аудитории
19.3.1. Решить уравнение .
Решение. .
Делим обе части уравнения на , получим
, интегрируем
- общее решение данного уравнения. При делении выражения на
могло быть потеряно решение
, но оно входит в общее решение при
.
Ответ: .
19.3.2. Решить уравнение
Решение. Приведём уравнение к виду: .
Делим обе части уравнения на выражение , получим
Переменные разделены. Интегрируем обе части уравнения:
При делении выражения на могли быть потеряны решения
и
т. е.
Очевидно,
решение уравнения, а
нет. Ответ:
;
.
19.3.3. Решить уравнение
Решение. Обозначим , тогда
Подставляя и
в данное уравнение, получим:
, откуда следует
.
Возвращаясь к старым переменным, получим:
— общий интеграл уравнения. Учитывая начальное условие, получим частный интеграл:
. Ответ:
.
|
|
19.3.4. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части уравнения на , получим
. При делении на
могло быть потеряно решение
. Но это решение получается из общего решения при
. Ответ:
.
19.3.5. Решить уравнение ;
Решение.
С учетом начального условия получим
Ответ:
.