Множество точек координатной плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением
, называется графиком данной функции.
По производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции. Напомним, что называется возрастающей в некотором интервале, если для любых
и
из этого интервала из неравенства
следует неравенство
Убывающей:
.
Теорема. Пусть определена на отрезке
и имеет непрерывную производную
внутри отрезка. Чтобы
была возрастающей (убывающей), достаточно
,
.
Рассмотрим возрастание. Возьмем два значения и
из
и применим формулу Лагранжа:
. Так как
, и
, то
– возрастающая. Аналогично – убывающая.
Геометрический смысл – производная – угловой коэффициент касательной. Значение коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз.
Экстремумы функции
Функция имеет в т.
максимум, если
, где
– достаточно малая по величине. Функция
имеет в т.
минимум, если
.
Если в т.
имеет max или min, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум.
Необходимое условие экстремума. Если существует конечная производная, то по теореме Ферма .
Экстремумы необходимо искать в тех точках, где или не существует. Такие точки называются стационарными (критическими).
Если допустить, что в отдельных точках нет конечной производной, то следует отнести к критическим и эти точки. Критические точки следует проверить, в них необязательно экстремум (, нет экстремума).
Первый достаточный признак экстремума.
Пусть т. является критической для
, а
непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки
). Тогда возможно:
1) при
и
при
, то есть производная при переходе через т.
меняет знак с «+» на «–». Тогда при
возрастает, а при
(в данном интервале) убывает, значит, значение
будет наибольшим – в т.
имеет max.
2) при
,
при
, то есть с «–» на «+» – min.
3) не меняет знак при переходе через
. Тогда
либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.
Второй достаточный признак экстремума.
Пусть – критическая точка и
,
имеет вторую производную в интервале и в самой т.
. Тогда, если
– max,
– min.
По определению производной: . Если
, то дробь > 0. При
знаменатель <0,
( убывает) и при
знаменатель >0 (возрастает) – min по первому признаку. Аналогично – max, если
.
Исследования по второму признаку производят редко.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Если непрерывна на отрезке
, то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает max и min значения. Этих значений
достигает или в критических точках или на концах отрезка.
Правило. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения на отрезке, надо:
1. Определить критические точки, принадлежащие ;
2. Вычислить значение функции в этих критических точках и на концах отрезка;
3. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных чисел.