Кривая обращена выпуклостью вниз, если на интервале она лежит выше касательной, проведенной в любой точке (вверх, если ниже касательной).
Дуги кривой, называют выпуклыми на интервале ,если они лежат ниже касательной, проведенной в любой точке
.Дуги кривой называют вогнутыми на
,если они лежат выше касательных.
Правило. Интервалы, в которых кривая выпуклая, определяются из неравенства , а интервалы, в которых вогнутая из неравенства
.
Точка перегиба – точка, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой. Точки перегиба следует искать среди точек, в которых ,
или
не существует.
При перегиб будет в том случае, когда при переходе через эту точку
меняет знак.
Асимптоты графика функции
Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении т. М в бесконечность (от начала координат) стремится к нулю.
Различают вертикальные и наклонные асимптоты.
1. Вертикальная: кривая имеет вертикальную асимптоту , если
. Необходимо отыскать те значения аргумента, при которых
.
2. Наклонные: ищем асимптоту в виде . Найдем k и b.
Очевидно, что , или
, так как
, то
, но
, тогда
. Необходимо рассматривать случай
(и Лопиталь). Если предел не существует, то асимптот нет. Иногда существует две асимптоты:
и
и аналогично
и
.
Общий план исследования функции и построения графика.
1) Определение области существования функции.
2) Четность, нечетность функции.
3) Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства.
4) Асимптоты.
5) Интервалы возрастания и убывания.
6) Экстремумы.
7) Интервалы выпуклости и вогнутости.
8) Точки перегиба.
Глава 10. Неопределенный интеграл