а) Площадь плоской фигуры , если
Если на интервале интегрирования, то рассматривают интеграл от модуля (или изменяют знак). или .
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком и осью абсцисс, если .
.
Более удобной является формула: где .
y
f 2(x)
f 1(x)
0 х
Пример 2. Найти площадь, ограниченной параболой и прямой .
б) Пусть функция задана в параметрической форме: .
.
Пример 3. Вычислить площадь одной арки циклоиды .
.
.
M
N
0 x
в) Если кривая задана в полярных координатах: .
Разобьем данную площадь радиус – векторами на n частей. Пусть углы между радиус – векторами равны Площадь сектора: .
Площадь: .
Пример 4. Найти S, ограниченную кардиоидой: .
Вычислить половину площади:
.
Длина дуги кривой
а) Пусть кривая задана уравнением . Возьмем на точки , и проведем хорды, которые обозначим . Получим ломанную , вписанную в дугу . Длина ломаной: . Длина дуги – предел: . Если на отрезке непрерывны, то этот предел существует. Пусть , тогда . По теореме Лагранжа , , по условию, и – непрерывны, поэтому существует предел интегральной суммы, который равен определенному интегралу:
|
|
.
Пример. Найти длину дуги кривой .
.
б) Если кривая задана параметрически: то длина дуги
.
в) Пусть кривая задана в полярных координатах: тогда .
;
;
тогда .
Пример. Найти длину дуги кардиоиды: .
; ;
длина дуги: .
Вычисление объема и площади поверхности вращения.
Пусть имеется тело, для которого известна площадь сечения, перпендикулярного оси ох, т.е. . Проведем плоскости, перпендикулярные оси ох. Они разобьют тело на слои, (цилиндр), тогда . Переходя к пределу: .
Объем тела вращения:
Если ось вращения – ось O Y, то объем тела вращения: .
Если ось вращения – ось O X, то объем тела вращения: и .
Площадь поверхности вращения.
Разобьем на частей и проведем ломаную. При вращении ломаной получаются усеченные конусы (цилиндры). Площадь поверхности , длина хорды , .
Пример: Объем тела, образованного вращением вокруг оси ох фигуры, ограниченной линиями: и .
.
.
Глава 12. Дифференциальные уравнения