Тел вращения
Вопросы к теме:
Объем и площади поверхностей Цилиндра.
Решение задач.
Объем и площади поверхностей Конуса.
Решение задач.
Объем Шара и площадь поверхности Сферы.
Решение задач.
Домашнее задание
Вопрос 1. Объем и площадь поверхности Цилиндра.
Решение задач
Как известно из темы о телах вращения,
Цилиндр – это тело вращения.
Основными элементами цилиндра являются:
- основания (нижнее и верхнее), радиус (диаметр) основания, высота, боковая поверхность, образующая (в прямом цилиндре является и высотой), развертка цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра
Площадь поверхности цилиндра, в соответствии со строением данного тела вращения, можно разделить на две составляющие:
1) площадь боковой поверхности;
Площадь двух оснований.
Рассмотрим формулы определения этих площадей.
Площадь боковой поверхности цилиндра
Развертка цилиндра, по линии образующей (без оснований) – это прямоугольник.
где Н – одна сторона прямоугольника развертки
(высота цилиндра);
2πR – другая сторона прямоугольника развертки
(длина окружности основания цилиндра)$
R – радиус основания цилиндра.
Площадь прямоугольника-развертки – это произведение сторон прямоугольника: 2 πRH.
Площадь этого прямоугольника-развертки и есть площадь боковой поверхности цилиндра:
Sбок = 2 πRH
Обращаем внимание, что единица измерения площади всегда имеет вторую степень (квадрат)
Площадь основания цилиндра
Основание цилиндра является круг. Площадь круга определяется по формуле πr 2.
Площадь двух оснований (нижнего и верхнего) цилиндра – это площадь оснований цилиндра:
Sосн. = 2 πR 2, где R - радиус основания цилиндра
Суммарная площадь этих двух составляющих представляет собой площадь полной поверхности цилиндра:
Sполн. = Sбок + Sосн. = 2 πRH + 2 πR 2
Объем цилиндра
Принцип определения объема цилиндра такой как у призмы и параллелепипеда: произведение площади основания на высоту данного геометрического тела.
Площадь основания цилиндра – πR 2. Высота цилиндра – Н.
Объем цилиндра определяем по формуле:
Vцилиндра = πR 2 H
Обращаем внимание, что в формуле объема единица измерения всегда имеет третью степень (куб).
Таблица формул для заучивания.
Решение задач
Задача 1
Длина окружности основания прямого цилиндра составляет 8p см, высота цилиндра равна 6 см.
Найти:
а) радиус основания цилиндра
б) площадь основания цилиндра
в) площадь боковой поверхности цилиндра
г) площадь полной поверхности цилиндра
д) площадь осевого сечения цилиндра
е) объем цилиндра
Решение:
а) Длина окружности основания цилиндра (из условия)
C = 8 =2pR
Отсюда, радиус цилиндра R = 8/2p = 4/p (см);
диаметр цилиндра D – 2R = 8p (см).
б) Sосн. = pR2 = p·16/p2 = 16/p (см2)
в) Из условия высота цилиндра H = 6 (см)
Sбок.= 2pR·H= 2p·4/p·6 = 48 (см2)
г) Sполн. = S бок + Sосн. = (48+ 16/p) (см2)
д) Осевое сечение цилиндра – это сечение, которое образуется при пересечении тела цилиндра плоскостью, которая проходит через ось (высоту) цилиндра.
В результате осевого сечения получаем геометрическую фигуру – прямоугольник со сторонами: Н – высота цилиндра и D – цилиндра.
Площадь осевого сечения определяется как площадь прямоугольника – произведение двух смежных сторон прямоугольника, в нашем случае – произведение высоты Н на диаметр D.
Sос. сеч. = D·H= 8/p·6= 48/p (см2)
е) V= pR2·H = p·16/p2·6 = 96/p (см3)
Ответ:
а) 4/p (см);
б) 16/p (см2);
в) 48 (см2);
г) (48+ 16/p) (см2);
д) 48/p (см2);
е) 96/p (см3).
Задача 2
Решение:
1. Исходя из того, что имеем прямой цилиндр, значит площадь осевого сечения представляет собой – прямоугольник со сторонами:
АС = ВD = H = 7 (см).
AD = CD = D (диаметр основания цилиндра)
2. Площадь сечения, как площадь прямоугольника, определим как произведение двух смежных сторон прямоугольника:
Например, АС ● СD = 42 (см2) (из условия).
Зная высоту цилиндра (АС), найдем СD:
CD = 42: 7 = 6 (см).
3. В тоже время, CD – это диаметр основания цилиндра, значит, радиус основания цилиндра R = 3 (см).
4. Sосн. = πR2 = π9 = 9π (см).
Ответ: 9π (см).
Вопрос 2. Объем и площадь поверхности Конуса.
Решение задач
Конус – тело вращения, образованное путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов либо путем вращения равнобедренного треугольника вокруг своей оси (высоты).
Конус – это геометрическое тело, которое состоит из основания, представленное окружностью, из вершины, представленной точкой, не лежащей в плоскости основания и равноудаленной от всех точек на окружности, из образующих, представляющих собой прямые линии, соединяющие вершину со всеми точками, лежащими на окружности.
Конус – это частный случай пирамиды, в основании которой лежит окружность. Большинство свойств пирамиды подходят и для конуса.
Основными элементами конуса являются: основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка.
Рассматривая вопрос о конусе, мы говорим о прямом круговом конусе, но называем его просто конус.
На Рис.1 представлен прямой круговой конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса совпадает с центром окружности основания.
На Рис.2 представлен наклонный конус. Характеризуется тем, что основание высоты конуса не совпадает с центром окружности основания или выходит за границы плоскости основания.
Рис.2
Рис.1
Площадь поверхности конуса
Образующие конуса – это отрезки, заключенные между точками окружности и вершиной конуса. Образующие конуса равны между собой.
Чтобы найти длину образующей l, следует воспользоваться формулой:
где h – это высота конуса; R – это радиус основания.
Если все образующие соединить между собой, можно получить боковую поверхность конуса.
Полная поверхность конуса состоит из боковой поверхности, имеющей форму сектора радиусом l (длина образующей) и поверхности основания, имеющего форму круга.
Рис.3. Полная поверхность конуса
где ά - градусная мера дуги АА1;
длина дуги АА1 – это длина окружности основания и равна 2πr;
l – образующая, r – радиус основания.
Чтобы найти площадь боковой поверхности, следует воспользоваться формулой:
Докажем это.
За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки боковой поверхности конуса, то есть площадь кругового сектора равна:
где ά - градусная мера дуги АА1;
l – образующая, r – радиус основания.
Можно выразить ά через l и r.
Длина дуги развертки равна длине дуги конуса окружности. , откуда .
Подставив в первоначальную формулу, получим:
Итак, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадь полной поверхности конуса представляет собой сумму площадей боковой поверхности и площади основания, определяется следующей формулой:
Объем конуса
Формула объема конуса похожа на объем цилиндра, но разделенная на «3»:
Этот коэффициент 1/3 получен в результате определенных математических расчетов.
Необходимо очень твердо запомнить, что в формулах объема «треугольных» фигур: конуса и пирамиды этот коэффициент 1/3 присутствует, а в формулах параллелепипеда, призмы и цилиндра этого коэффициента нет!
Приведем формулы расчета боковой и полной поверхности, а также объема усеченного конуса.
В нашем примере представлен усеченный конус, полученный путем перпендикулярного сечения, то есть сечения плоскостью, перпендикулярной высоте конуса.
Приведем также Таблицу тел вращения, в которой представлены