8.2.1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,
,
(рис. 4).
◄ По формуле (8.1) площадь
. ►
8.2.2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
.
◄ Найдем абсциссу точки пересечения линий и
:
,
,
,
,
,
.
С учетом вида графиков функций и
получаем, что фигура имеет вид, изображенный на рис. 5. По формуле (8.2) площадь фигуры
. ►
8.2.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
.
◄ Для нахождения абсцисс точек пересечения линий и
получаем квадратное уравнение
или
. Решая его, получаем
,
,
. Фигура имеет вид, изображенный на рис. 6. По формуле площадь фигуры
. ►
8.2.4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
,
,
,
.
◄ Фигура имеет вид, изображенный на рис. 7. Ее площадь находим по формуле (8.2):
. ►
8.2.5. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями
,
,
(рис. 8).
◄ По формуле (8.3) объем тела вращения
(по формуле (6.1) понижения степени)
. ►
Дифференциальные уравнения
1.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
|
|
Часто, рассматривая явления, мы не можем непосредственно установить вид исследуемой зависимости у от х. Однако мы можем установить зависимость между функцией, её производными и аргументом.
Рассмотрим следующие две задачи.
1. Задача о радиоактивном распаде. Экспериментально установлено, что скорость радиоактивного распада вещества массы М пропорциональна количеству нераспавшегося вещества, т.е.
где k - коэффициент распада, который устанавливается экспериментально.
2. Задача о падении тела. С некоторой высоты падает тело массой т. Требуется установить по какому закону изменяется путь S, проходимый данным телом.
Согласно второму закону Ньютона имеем
, где
, а
.
Таким образом, получим .
Полученные соотношения представляют собой дифференциальные уравнения для нахождения функций и являются математи-ческими моделями соответствующих физических процессов.