Формулы сокращённого умножения
Примеры:
Разность квадратов раскладывается на произведение суммы и разности «самих чисел»
9- квадрат, само число 3, т.к. 32=9, если х4-квадрат, то само число х2 (показатель степени делим на 2).
- 152 − 22 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
- 9a2 − 4b2с2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)
- х2 -1= (х-1)(х+1)
- х2 – 25=(х-5)(х+5)
- 16у6 - 4=(4у3-2)(4у3+2)
- a2 + 2a + 1 = (a + 1)2
- (aс − 4b)(ac + 4b) = a2c2 − 16b2
Квадрат суммы: (квадрат первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа), при возведении в квадрат каждый множитель возводится в квадрат.
(8a + с)2 = 64a2 + 16ac + c2
(3х2+1)2= 9х4+6х2+1
Предостережение! (a + b)2 не равно (a2 + b2)
Квадрат разности: имейте в виду, что (a − b)2 = (b − a)2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(3х-1)2=9х2- 6х+1
(6у3 – 3)2= 36у6 – 36у3+9
- один из способов решения уравнений, используя разложение левой части на множители.
Разложение левой части уравнения на множители.
1) Решим уравнение х2 + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:
х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х - 2) = 0
Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х2 + 10х - 24 = 0.
2) –группируем слагаемые так, чтобы из каждой группы можно было вынести общий множитель за скобки. Для числовых коэффициентов общий множитель это НОД этих чисел, для буквенных слагаемых это степень с тем же основанием и меньшим показателем. Например: вынести общий множитель их выражения 7у5х- 14х2у3 = 7ху3(у2 – 2х)
Пример:
x3 + х2 – х2 – х – 2 x – 2 = 0;
(x3 + х2) – (х2 + х) – 2(x + 1) = 0;
х2(х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;
(х + 1) (х2 –х–2) = 0;
(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;
(х –2) = 0;
х1 = –1, х2 = 2
Ответ: –1; 2.
Порядок действий при решении биквадратных уравнений
1. Ввести новую переменную у=х2
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней (y1; y2) подставить их в нашу переменную у=х2 и найти исходные корни биквадратного уравнения
Пример:
х4 – 8х2 – 9 = 0.
Решение: Пусть у = х2, где у 0; у2 – 8у – 9 = 0;
По формулам Виета:
у1 = –1; у2 = 9;
Первое решение отбрасываем (у 0),
а из второго находим х1 = –3; х2 = 3.
Ответ: х1 = –3; х2 = 3.
- ещё один пример решения уравнений разложением левой части на множители:
Шаги решения | Пример |
1. Все члены переносятся в левую часть уравнения, в правой должен быть 0 | x3−16x=0 |
2. Левая часть раскладывается на множители. | x(x2−16)=0 |
3. Каждый множитель приравнивается к 0 | x=0 или x2−16=0 |
4. Решается каждое из полученных уравнений | x=0, x2=16 x=±4 |
5. Записывается ответ | x=0, x=−4, x=4 |
Метод введения новой переменной:
1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (a, y, t...)
(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);
2. решается новое уравнение;
3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.
Пример:
реши уравнение (2x−21)2−5(2x−21)+4=0.
Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.
Используем то, что обе скобки равны.
Обозначаем 2 x−21=y. Получается простое квадратное уравнение:
y2−5y+4=0 по теореме Виета; y1=4,y2=1.
Возвращаемся к обозначенному:
1) 2x−21=4; 2x=25; x=12,5 | 2) 2x−21=1; 2x=22; x=11 |
Ответ: x=12,5; x=11.