ТУР
1.1. Какое наименьшее количество точек можно отметить на поверхности куба, чтобы количество точек на любых двух гранях куба различалось? (Поверхность куба состоит из 6 граней, каждое ребро принадлежит двум граням, а каждая вершина - трем). Ответ: 6 точек. 0, 1, 2, 3, 4, 5. см. рис.4 | рис.4 |
1.2. На координатной плоскости изображен график функции у = ах2 + с (см. рис.1). В каких точках график функции у = сх + а пересекает оси координат? В ответе указать значения чисел с и а, а также координаты точек. Ответ: а = -1, с = 2, у = 2х - 1. (0; -1), (0,5; 0). Решение: см. рис.1; 5 1.3. Найдите наименьшее число, кратное 45, десятичная запись которого состоит только из единиц и нулей. Ответ: | Рис. 1 Из рис. 1 определяем а и с. с = 2, . | Тогда уравнение прямой имеет вид: . Рис. 5 |
ТУР
2.1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты ВД и СЕ. Найдите угол , если ВС = =2ВЕ. В ответе должен содержаться чертеж и значение угла . Ответ: . Решение: см. рис.6. Из : т.к. ВС = 2ВЕ, то , тогда .
Для прямоугольного также . Таким образом, в окружности, описывающей и , и опираются на одну и ту же дугу. следовательно . | Рис. 6 | |||
2.2. В футбольном турнире участвовали 5 команд. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу (выигрыш - 3 очка, ничья - 1 очко, проигрыш - 0 очков). Все участники, кроме победителя, набрали очков поровну. Какой наибольший |
Рис. 7 | |||
и наименьший возможный отрыв команды победителя? В ответе укажите числа и турнирные таблицы.
Ответ: наиб. = 12 - 3 = 8, наим.= 6 - 5 =1. см. рис.7.
2.3. Найдите такое наименьшее натуральное число n, чтобы 2n являлось квадратом натурального числа, а 3n - кубом.
Ответ: 72. Решение: .
ТУР
3.1. В треугольнике АВС медиана, проведенная из вершины А к стороне ВС, в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 60о. Найдите угол ВАС. В ответе указать значение угла и сделать чертеж. | Рис. 8 |
Ответ: 150о. Решение: см. рис.8. Если , то , , , тогда - равносторонний, , тогда , - равнобедренный, , . Т.к. - средняя линия, то .
3.2. На координатной плоскости задан график функции у = kх + b (см. рис.1). В той же координатной плоскости схематически постройте график функции у = kх2 + bх. Найдите абсциссы точек пересечения двух графиков. Ответ: . Решение: см.рис.9. | Рис. 2 |
Т.к. то ветви параболы направлены вниз. Координаты вершины . . | рис.9 |
3.3. Дан квадрат 4х4 и четыре разных цвета. Сколькими способами можно покрасить клетки квадрата так, чтобы в каждом столбце и в каждой строке присутствовали все цвета.
Ответ: .Решение см. рис.10. 1) ; 2) ; 3) 3 сп.; 4) 1, тогда . | рис.10 |
|
|
ТУР
4.1. На столе стоит правильная стеклянная треугольная пирамида РАВС (прозрачная), все ребра которой равны 1. Муравей ползет из точки М, лежащей на луче АВ на расстоянии 2 от точки В, в точку N - середину ребра РС. Найдите длину его кратчайшего пути. В ответе указать длину и нарисовать чертеж. | |
Ответ: . Решение см. рис.11. |
4.2. Функция определена для всех , кроме 1, и удовлетворяет равенству
. Найдите .
Ответ: . Решение: Если
.Если
. Тогда,
4.3. 16 карточек занумеровали числами от1 до 16. Можно ли их выложить вдоль одной прямой так, чтобы сумма номеров на любых двух соседних карточках была точным квадратом? В ответе привести пример.
Ответ: Да, можно. Решение: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.