На поверхности рассматриваем линию , в естественной параметризации
.
Согласно п. II.7, кривизна кривой определяется из равенства
,
где кривизна кривой, единичный вектор главной нормали кривой. Обозначим единичный вектор нормали поверхности , это вектор
(III.6.1)
см. п. III.3. Умножим скалярно и :
,
если угол между и . Величина
называется нормальной кривизной кривой на поверхности или нормальной кривизной поверхности:
(III.6.2)
Вычислим в окрестности точки . Находим
,
,
,
Здесь и , так как . Обозначим
, , .
На основании (III.6.1) и (III.6.2) имеем
; ; .
Коэффициенты , , вычислены в точке поверхности. Выражение для нормальной кривизны линии на поверхности таково:
. (III.1.3)
Отсюда получаем
.
Воспользуемся значением из первой квадратичной формы (III.4.3) поверхности
(III.6.4)
Квадратичная форма
называется второй квадратичной формой поверхности. Таким образом, нормальная кривизна поверхности есть отношение второй и первой квадратичных форм поверхности.
|
|
Рассмотрим на поверхности кривые, проходящие через точку и имеющие с кривой общую соприкасающуюся плоскость. У этих кривых общий вектор касательной и общий вектор кривизны . Среди этих кривых находится плоская кривая, лежащая в соприкасающейся плоскости , эта плоскость содержит и нормаль поверхности. Следовательно, выполняется
III.1.1. ТЕОРЕМА. Нормальная кривизна поверхности в точке есть кривизна нормального сечения поверхности. #