Вiльнi коливання матерiальної точки при вiдсутностi опору

 

До коливань вiдносять рухи або процеси, якi повторюються з часом.

За характером залежностi вiд часу фiзичної величини x (t) видiляють перiодичнi коливання, при яких будь-яке значення x (t) повторюється через рiвнi iнтервали часу: x (t) =x (t+T).

Iнтервал (промiжок) часу, протягом якого здiйснюється одне повне коливання, називається перiодом коливань Т.

Величина, обернена до перiоду i рiвна числу коливань за одиницю часу, називається частотою коливань v = 1 /T. Частота v коливань вимiрюється в Герцах (Гц): 1 Гц = 1 коливанню за секунду.

Рис. 5. 1.

Найбiльш важливим видом перiодичних коливань є синусоїдальнi або гармонiчнi коливання. Такi коливання здiйснює тягар на пружинi (рис. 5.1): тут mg - вага тягаря, с - коефiцiєнт жорсткостi пружини, f_ст - статична деформацiя пружини, х - змiщення тягаря вiд положення рiвноваги. У станi спокою вага тягаря зрiвноважена силою натягу деформованої пружини, тому справедлива рівність:

mg = cf_ст.           (5.1)

За другим законом Ньютона диференцiальне рiвняння руху тягаря  на пружині буде таким:

або

                             (5.2)

де

.

Змiщення х тягаря описується диференцiальним рiвнянням другого порядку зi сталими коефiцiєнтами.

Загальний розв’язок рiвняння (5.2) записують у виглядi:

                       (5.3)

де С ₁ i С ₂ - сталi, якi знаходяться з початкових умов руху. Оскiльки x - дiйсна величина, то С ₁ i С ₂ повиннi бути комплексними спряженими.

Закон вiльних коливань тягаря на пружинi при вiдсутностi опору можна записати так:

x = A sin(ω ₀ t) + B сos(ω ₀ t)                      (5.4)

або

x = a cos(ω ₀ t + ₀)(x = a sin(ω ₀ t + ₀)).             (5.5)

Початковi умови руху записують так:

t ₀ = 0; х = х ₀;

Сталi iнтегрування дорiвнюють:

                             (5.6)

.

Через те, що кожному значенню тангенса вiдповiдають два кути в межах вiд 0 до 2 π, то треба визначити ще sin φ ₀ i cos φ ₀:

                              (5.7)

Сталу а називають амплiтудою коливань. Амплiтуда дорiвнює розмаху коливань (вiддалi вiд положення рiвноваги до крайнього положення тягаря при коливаннях). Величину (ω ₀ t+φ ₀) називають миттєвою фазою коливань, a φ ₀ - початковою фазою. Перiод коливань дорiвнює:

              (5.8)

Перiод коливань залежить вiд маси тягаря m i коефiцiєнта пружностi с, тобто вiд фiзичних параметрiв коливальної системи, але не вiд амплiтуди коливань.

В той же час величина ω ₀ дорiвнює ω ₀ = 2 π/T = 2 π  i називається циклiчною частотою. Циклiчна частота дорiвнює числу коливань за 2 π секунд.

Якщо x (t) - координата тiла, яке здiйснює гармонiчнi коливання, то швидкiсть його  i прискорення  змiнюються з часом також за гармонiчним законом:

         (5.9)

Коливання швидкостi випереджають коливання координати по фазi на π /2 (чверть перiоду), а коливання прискорення вiдбуваються в протифазi з коливаннями координати.