Плоский рух твердого тіла складається з поступального разом з полюсом – центром мас С – в площині руху, і обертального навколо осі Cz, яка проходить через центр мас і перпендикулярна до нерухомої площини. А тому згідно з пунктами 14.1 і 14.2 диференціальними рівняннями плоского руху твердого тіла будуть:
(14.5)
де
.
При розв’язанні задач треба дотримуватись такого порядку:
1) вибрати систему відліку Оху в площині плоскої фігури;
2) розглянути тіло в деякому положенні і прикласти до нього зовнішні сили;
3) накладені в’язі замінити їх реакціями;
4) скласти рівняння (14.5) і розв’язати їх.
14. 4. Рух твердого тіла навколо нерухомої точки (сферичний рух)
Нехай тіло рухається так, що нерухомою залишається тільки одна його точка О. Такий рух тіла досить поширений у техніці (гіроскопи, бігунки, ротори, турбіни на кораблях, тощо). Пов’яжемо з тілом незмінні рухомі осі Ox, Oy, Oz. Як відомо, кінетичний момент механічної системи відносно нерухомої точки О визначається формулою:
|
|
(14.6)
Тверде тіло, що має одну нерухому точку О, в кожний даний момент часу обертається навколо миттєвої осі, що проходить через цю нерухому точку.
Швидкість k -тої точки такого тіла обчислюється за формулою:
(14.7)
де - миттєва кутова швидкість тіла, - радіус-вектор k -тoї точки тіла, проведений з нерухомої точки О.
Підставимо значення з формули (14.7) в формулу (14.6) і одержимо кінетичний момент твердого тіла, що має одну нерухому точку О, відносно цієї точки:
(14.8)
При цьому проекції вектора на осі системи координат Oxyz, незмінно пов’язаної з тілом, дорівнюють:
(14.9)
Якщо за рухомі осі вибрати головні осі інерції тіла в точці О, то, як відомо, відцентрові моменти інерції дорівнюють нулю і кінетичні моменти відносно головних осей інерції визначаються за формулами:
(14.10)
В загальному випадку напрями векторів і миттєвої кутової швидкості між собою не співпадають.
В окремих випадках, коли еліпсоїд інерції тіла для точки О зводиться до кулі (Іx=Іy=Іz) або коли обертання тіла відбувається навколо однієї з головних осей інерції, наприклад осі z (ωx=ωy= 0), напрями векторів кінетичного момента і миттєвої кутової швидкості між собою співпадають, тобто
Кінетична енергія визначається так:
(14.11)
Величина T> 0, тому що кут між векторами і буде завжди гострим.
З формул (14.10) і (14.11) одержимо:
(14.12)
Якщо за рухомі осі вибрати головні осі інерції в точці О, то
(14.13)
Диференціальні рівняння руху твердого тіла можна одержати, використавши теорему про зміну кінетичного моменту, згідно якої
|
|
(14.14)
Це рівняння описує рух тіла відносно нерухомої (інерціальної) системи координат Oxyz.
Похідна визначає вектор абсолютної швидкості точки А при русі її по годографу вектора (рис. 14.1), тобто
Тоді з рівняння (14.14) маємо:
(14.15)
Цей результат виражає теорему Резаля:
|
Рівняння (14.15) записують так:
(14.16)
Л.Ейлер запропонував проектувати рівняння (14.16) на рухомі осі Oxyz, незмінно пов’язані з рухомим тілом і направлені по головних осях інерції тіла в точці О. Опускаючи знак локальної похідної, маємо з рівняння (14.16):
(14.17)
Врахуємо, що
Тоді рівняння (14.17) можна записати у вигляді:
(14.18)
Рівняння (14.18) були одержані Л.Ейлером і називаються динамічними рівняннями Ейлера.
Введемо позначення:
і до динамічних рівнянь Ейлера (14.18) приєднаємо кінетичні рівняння Ейлера. Одержимо шість нелінійних диференціальних рівнянь першого порядку відносно невідомих функції φ, ψ, θ (рис. 14.2):
Рис. 14. 2.
(14.19)
(14.20)
Задачі динаміки для твердого тіла, що має одну нерухому точку, в змінних Ейлера φ (кут власного обертання), θ (кут нутації), ψ (кут прецесії) формулюються так:
1) знаючи закон руху тіла, який визначається рівняннями
(14.21)
знайти момент діючих на тіло сил;
2) знаючи момент діючих на тіло сил, знайти закон руху тіла у вигляді (14.21).
Розв’язання першої задачі динаміки зводиться до знаходження похідних від заданих функцій f 1(t), f 2(t), f 3(t), а розв’язання другої задачі динаміки зводиться до інтегрування системи диференціальних рівнянь (14.19) і (14.20). Інтегрування цієї системи рівнянь викликає значні математичні труднощі.
Зауваження. Для закріплення матеріалу §14 (пункти 14.1 – 14.4) необхідно розв’язати задачі зі збірника “Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. – М., Наука, 1981 (1986)”:
1) № 37.12 – 37.16, 37.29, 39.2 – 39.7;
2) № 37.17 - 37.21, 37.24, 37.25, 37.27, 37.31, 37.34, 39.8, 39.11 - 39.15, 39.19;
3) № 37.22, 37.23, 37.33, 37.39, 37.40 – 37.42, 39.16 - 39.18, 39.20 – 39.22.
Рекомендується розв’язати також задачі № 10.2, 10.4, 10.5, 10.7, 10.14 – 10.18, 10.20, 10.23, 10.25, 10.26, 10.28 зі збірника “Сборник задач по теоретической механике /Под ред. К. С. Колесникова. – М., Наука, 1989”.