Построение вписанных (касательных) окружностей

  4.1. Примеры из истории

 Построение вписанных окружностей в заданную фигуру одна из наиболее распространённых и устойчивых задач в традиционной культуре построения геометрического узора, который встречается в проектных зарисовках, в декоративном убранстве памятников архитектуры, мебели и другой домашней утвари, в объектах графического дизайна, в формах различных указателей, знаков и т.д. (рис. 55 a – д).

             

 

а)                                                                     б)

 

       

 

               в)                                                 г)

            

                                                                   д)

                                                             Рис. 55

 

а – Виллар д'Оннекур, 13 в. (Villard de Honnecour) рисунок архитектурной розы из альбома; б – декор готических окон; в – обложка компакт-диска современной  музыкальной группы;   г – резной декор сундука, 18 в. Северная Италия  д – товарные знаки:

            – Союз промышленных дизайнеров. Р. Деннинг, Англия;

            – Ателье пошива. В. Баллмер, Италия;

       – Телефонная компания. Э.О. Биеманн, США.

  При этом, за различными декоративными конструкциями такого рода может скрываться определённый смысл, о котором традиция зачастую умалчивает и о котором современный проектировщик и декоратор может только догадываться.

Например, на рис. 56 а приведён т. н. объёмный тетраэдр в яйце жизни – известная символико-графическая схема, за которой стоят глубокие и устойчивые мифологические традиции, дожившие до наших дней.

На рис. 56 b показана полоса кругов, представляющая бинарный ряд, геометрически выражающий движение яйцеклетки, порождающей жизнь.

 

            

                      а)                                                         b)

                                                     Рис. 56

 

 

 4.2. Некоторые задачи

В зависимости от характера заданной фигуры, в которую предстоит

вписать окружности, используют касательные и  биссектрисы, а для

  заданных окружностей – прямые, делящие её на равные части.

 

Задача 1. Вписать в данную окружность k три равные касательные

окружности (рис. 57).

1. Проводим вертикальный диаметр и делим окружность на шесть равных частей, начиная от от верхнего его конца 1; нумеруем точки деления и соединяем их с центром О.

2. На пересечении касательной t (t É 1) и прямой 5-2 отмечаем т. А.

3. Полученный угол φ делим биссектрисой b пополам.

4. Пересечение биссектрисы с вертикальным диаметром 1-4 определяет центр О₁ первой касательной окружности. Положение остальных центров О₂ и О₃ и построение вписанных окружностей, проведённых из них, понятно из чертежа.

 

         

 

            Рис. 57                             Рис. 58                              Рис. 59

 

Задача 2. Вписать в данную окружность k четыре равные касательные окружности (рис. 58).

1. Делим окружность на восемь равных частей и, нумеруя точки

     деления, соединяем их с центром О.     

 2. На пересечении касательной t (t É 1) и прямой 6-2 находим т. А.

3. На пересечении биссектрисы b угла φ и диаметра 1-5 определяется

      центр О₁ первой касательной окружности. Положение остальных

      центров О₂, О₃ и О₄ и проведение из них вписанных окружностей,

      ясно из чертежа.

 

Задача 3. Вписать в данную окружность k пять равных касательных окружностей (рис. 59).

1. Делим окружность на десять равных частей и, нумеруя точки  деления,

     соединяем их с центром О.

     Дальнейшее решение задачи аналогично предыдущему.                             

   

Задача 4. Вписать в равнобедренный треугольник АВС не менее семи касательных окружностей (рис. 60).

                                                   Рис. 60

 

1. Из вершины В опускаем перпендикуляр на сторону АС и находим его

    основание – точку Е

2. Строим биссектрису угла ВСА и отмечаем точку О₁ её пересечения с

прямой ВЕ.

3. Проводим первую касательную окружность из т. О₁ с радиусом

  О₁Е= О₁К.

4. Через т. М проводим касательную n к вписанной окружности (n ^ a).

5. Строим биссектрису а^' угла, заключённого между прямыми n и АС.

6. В пересечении прямых а и а' находим центр О₂  второй касательной

 окружности.

Дальнейшие построения производятся аналогично.                                                                                                                                            

       

Задача 5. Вписать в область, отсечённую от круга k прямой m не менее

семи касательных окружностей (рис. 61).

1. Строим прямую n (n É О), перпендикулярную прямой m и в их

     пересечении отмечаем т. Е.

2. Делим отрезок ЕК пополам и находим, тем самым, центр О₁

первой касательной окружности.

3. Проводим касательную t₁ (t₁ É L)  к первой окружности.

4. Проводим биссектрису b угла, заключённого между прямыми m и t₁.

5. На пересечении прямой b и дуги радиуса R^' =LB находим центр   О₂

     второй касательной окружности.

  Центры последующих касательных окружностей находим аналогичным

образом.

 

Рис. 61

 

Задача 6. Описать около данной окружности k три равные касательные окружности (рис. 62).

1. Делим данную окружность на три равные части точками А, В и С, через

 которые проводим радиальные прямые.

2. Через т. Е проводим касательную t к окружности, которая пересекается с

 радиальной прямой m (ОС) в т. К.

3. Строим биссектрису b угла, заключённого между прямыми  t и m.

4. Находим т. L в пересечении биссектрисы b и вертикальной оси i É В.

5. Проводим окружность e радиуса OL и в её пересечении с радиальными

 прямыми, проходящими через тт. А, В и С находим центры О₁, О₂ и О₃

    искомых окружностей.

 

           

 

Рис. 62