Задачи для самостоятельного решения

 

Задача 1. Задать окружность и вписать в неё девять равных касательных

                 окружностей.

Задача 2. Восстановить все построения, которые позволили вписать в

                  заданную окружность 7 равных касательных окружностей

                  (рис. 63).

Задача 3.  Восстановить все построения, которые позволили вписать в

                   заданную  окружность четыре равные касательные окружности

                   одного радиуса и три равные касательные окружности другого

                   радиуса (рис. 64).

 

                       

 

                             Рис. 63                                        Рис. 64

 

Задача 4.  В заданную фигуру, образованную пересекающимися дугами

                  двух равных   заданных окружностей вписать не менее трёх

                  (пяти) равных касательных окружностей   (рис. 65);

 

                        

 

                                                       Рис. 65

 

Задача 5. Задать окружность k и описать около неё четыре равные

                  касательные  окружности.

 

           

Раздел 2

Построение орнаментальных композиций

Общие замечания

Конструирование и начертание орнаментов есть вид графического искусства,

имеющий важное значение для развития конструктивных и художественно-графических навыков будущих архитекторов и дизайнеров. Творческие способности в процессе начертания орнамента получают стимулы для дальнейшего роста.

В основе орнаментального узора на плоскости лежит ритмическая

упорядоченность геометрических элементов, основанная на симметрии. Симметрия – свойство геометрической фигуры, характеризующее некоторую правильность и неизменность её формы при движении и зеркальных отражениях,  называемых преобразованиями плоскости.

 К классическим преобразованиям на плоскости относятся:

 

· зеркальная симметрия, когда каждая т. M плоскости переходит в т. M '  

      относительно некоторой  прямой a – оси симметрии, – которая может

      быть уподоблена некоторому идеальному зеркалу в плоскости. Тогда

      отрезок MM ' (M ' – отражение т. М) перпендикулярен прямой   a

      и делится ею пополам  (рис. 66);

 

· поворотная симметрия, когда каждая т. N плоскости переходит в т. N ' путём поворота на определённый угол около воображаемой оси i, проходящей через центр О и перпендикулярной плоскости, в которой осуществляется поворот (рис. 67). В данном случае угол поворота

φ = 90^○;

· центральная симметрия (инверсия), когда каждая т. L плоскости переходит в т. L ' относительно некоторой  точки С – центра симметрии таким образом, что LС ═ СL', при условии, что точки  L, С, L' – коллинейны, т.е. лежат на одной прямой(рис. 68); идеальным примером центрально-симметричной фигуры на плоскости является окружность,   (в пространстве – сфера);

· трансляция (перенос), когда каждая т. F повторяетсяна плоскости через определённое расстояние и в определённом направлении, образуя ритмическую последовательность. Трансляции порождают одномерный узор (рис. 69 а). Паркетные полы, узоры на обоях, кружевные ленты, дорожки, вымощенные плиткой, обладают неодномерной трансляционной (ковровой) симметрией в том    смысле, что их образуют узоры, не имеющие собственных границ  (рис. 69 b).

  

          Рис. 66                          Рис. 67                           Рис. 68

  a)            b)   

                                                               Рис. 69

В искусстве симметрия получила распространение как одно из средств построения гармоничной композиции. В традиционной и современной культуре она присуща,  как произведениям архитектуры и декоративно-прикладного искусства, так  и произведениям изобразительного искусства и графического дизайна.  В архитектуре симметрия используется в качестве основного приёма при построении различных декоративных элементов.   Например, в Древней Греции  – это   капители(а), антефиксы (b), бордюры (в) и др. (рис. 70), или в готической архитектуре  – это вимперги (a), трифолии (b), квадрифолии (в) и др. (рис. 71).

          

             а)                                     b)                                 в)

                                                  Рис. 70     

     

 

                     а)                                    b)                                    в)

                                                                             Рис. 71

Кроме того,  различные виды симметрии используются при создании различных знаков – товарных, информационных, манипуляционных, логотипов и т.д. (рис. 72 а-г).

           

             а)                      b)                         в)                       г)

Рис. 72

Комбинации симметрий, порождённые зеркальными отражениями, вращениями и переносами, являются предметом исследования в различных областях естествознания. Например, винтовая симметрия, осуществляемая поворотом на некоторый угол около оси, дополненным переносом вдоль той же оси, наблюдается в расположении листьев у растений и потому изучается в ботанике.  Геральдика – это ещё одна область семантики и художественного конструирования, в которой широко проявляются идеи симметрии.