Модель описывается следующим уравнениями, выражающими зависимость между экономическими показателями в пересчете на одного работника:
y=f(k) – совокупное предложение;
у=с+i= (i – s)y+i =i/s – спрос. Здесь с и i – потребление и инвестиции, s – норма сбережения;
f(k)=i/s – равенство спроса и предложения.
i=sf(k) – инвестиции на одного работника.
Экономика по Р. Солоу находится в равновесном устойчивом состоянии, когда прирост капиталовооруженности труда ( k) определяется следующим соотношением:
k=sf(k) – (d+n+g)k =0,
где d – норма амортизации;
n – темп прироста населения;
g – темп прироста производительности труда за счет технического прогресса.
Золотое правило накопления Э. Фэлпса:
MPK=d+n+g.
МРК - предельный продукт капитала.
Примеры решения задач:
1. Экономика страны описывается производственной функцией вида
Y = AK0,4L0,6 Известно, что темп прироста капитала равен 3% в год, а численности занятых 2%. Общая производительность факторов (параметр А) растет с темпом 1,5% в год. Как меняется объем производства?
|
|
Решение:
Изменение выпуска можно представить как:
∆У = F(К, L) ∆А + МРК∆К + МРL∆L,
где МРК и МРL - предельные производительности соответствующих факторов. Разделим это выражение на У=АF(К, L) и получим:
.
Второе и третье слагаемое правой части уравнения умножим и разделим на K и L:
,
где в скобках стоят доли капитала и труда в общем выпуске. Сумма этих долей равна 1 (условие постоянной отдачи от масштаба). Отсюда , где α = 0,4, 1 - α = 0,6 (коэффициенты при К и L в заданной производственной функции).
В результате получим = 1,5 %+4×3 % + 0,6 × 2 % = 3,9 %, т. е. выпуск растет с темпом 3,9 % в год.
2. Дана производственная функция у = Y = AK0,5L0,5. Норма сбережения s равна 0,2, норма выбытия (d) равна 5%, темп роста населения (n) составляет 2% в год, темп трудосберегающего технического прогресса (g) равен 3%. Каким будет запас капитала и объем выпуска в расчете на одного занятого в устойчивом состоянии? Соответствует ли устойчивая фондовооруженность уровню, при котором достигается максимальный объем потребления («золотое правило»)? Какой должна быть норма сбережения в соответствии с «золотым правилом»?
Решение:
Представим все параметры функции в расчете на одного занятого (разделим обе части на L). Тогда у = Y/L = = = , где k = К/L. В соответствии с условием устойчивого состояния экономики инвестиции должны быть равны выбытию, т. е.:
I = sy = s = dk.
С учетом роста населения и технологического прогресса формула принимает вид:
s = (d +n + g)k.
Отсюда = s/(d +n + g) = 0,2/(0,05 + 0,02 + 0,03) = 2; k = 4.
Соответственно у = = 2.
По условию «золотого правила» МРК = d +n + g. Предельный продукт капитала найдем как производную функции у = :
|
|
y’= k1/2 = 1/2k-1/2 = 1/2 = d +n + g = 0,1.
Отсюда следует, что k = 25. Таким образом, исходная фондовооруженность (k=4) не соответствует условиям достижения максимума потребления. Очевидно, норма накопления в соответствии с «золотым правилом» должна быть выше и соответствовать условию:
sy = (d + n + g)k, где у = = 5 и s = 0,5.
Таким образом, норма сбережения в соответствии с «золотым правилом» должна быть равна 0,5, или 50 %.