В подавляющем большинстве случаев напряжение изменяется периодически (рис. 10.1). Совокупность всех значений напряжений в течении одного периода называется циклом напряжений.
Характеристиками циклов напряжений являются:
1) максимальное напряжение цикла – σmax;
2) минимальное напряжение цикла – σmin;
3) среднее напряжение цикла – σm=(σmax + σmin)/2;
4) амплитуда цикла – σa = (σmax – σmin)/2;
5) Коэффициент асимметрии цикла – r = σmin / σmax.
Циклы, имеющие одинаковые коэффициенты асимметрии цикла, называются подобными.
Рис. 10.1
Наиболее распространенными являются:
Рис. 10.2
1) Симметричный цикл (рис. 10.2,а), в котором σa= σmax = - σmin. При этом σm=0, r=-1.
2) Отнулевой (пульсирующий) цикл (рис. 10.2,б). Для этого случая
σmax= σ, σmin=0, σm= σa= σ/2, r=0.
3) Статическое напряжение иногда называют постоянным циклом (рис. 10.2,в), в нем
σa=0, σmax = σmin= σm= σ, r=+1.
Любой асимметричный цикл можно представить как сумму симметричного цикла и постоянного напряжения.
|
|
В случае действительных переменных касательных напряжений остаются в силе все термины и соотношения, с заменой σ на τ.
Для оценки прочности материала при переменных напряжениях используется определяемая опытным путем характеристика – предел выносливости σr, который представляет собой наибольшее в алгебраическом смысле напряжение цикла, при котором образец выдерживает не разрушаясь неограниченно большое число циклов.
Практически установлено, что если стальной образец выдержал некоторое базовое число циклов NБ, и не разрушился, то он не разрушится и при любом другом большем числе циклов. Для стали и чугуна принимают NБ=107.
Для цветных металлов и сплавов пользуются лишь понятием предела ограниченной выносливости при NБ=108, т.к. они при очень большом числе циклов могут разрушиться и при небольших напряжениях.
На величину предела выносливости σr влияют различные факторы:
1) Асимметрия цикла.
Минимальное значение имеет предел выносливости при симметричном цикле (r = -1). Он в несколько раз меньше предела прочности, например, для углеродистой стали σ-1 ≈ 0,43 σв, для легированной стали σ-1 ≈ 0,35 σв +120 МПа, для серого чугуна σ-1 ≈ 0,45 σв.
2) Вид деформации.
При растяжении-сжатии предел выносливости σ-1р=(0,7 – 0,8) σ-1.
При кручении - τ-1 ≈ 0,58 σ-1.
3) Концентрация напряжений.
Снижение предела выносливости за счет наличия концентраторов на-пряжений (выточек, отверстий, шпоночных канавок, резких переходов от одних размеров детали к другим и др.) учитывается действительным коэффициентом концентрации напряжений кσ (кτ)>1. В неответственных расчетах и при отсут-ствии данных величину к можно определять по следующим эмпирическим со-отношениям:
|
|
а) при отсутствии острых концентраторов для детали с чисто обработанной поверхностью
б) при наличии острых концентраторов напряжений
В приведенных соотношениях σв выражена в МПа. Эти формулы годятся для сталей с σв от 400 до 1300 МПа, и при их использовании не следует отдельно учитывать влияние качества поверхности детали.
4) Качество обработки поверхности учитывается при помощи коэффициента β >1, значение которого для различного качества обработки поверхности приводится в таблицах и графиках.
5) Абсолютные размеры детали учитываются при помощи так называемого масштабного фактора αм>1. Значение αм для различных материалов в зависимости от диаметра детали определяются из специальных графиков. Приближенно величины масштабного фактора для валов может быть вычислена по эмпирической зависимости
αм = 1,2+0,1(d – 3), (10.3)
где d – диаметр вала в сантиметрах.
Совместное влияние концентрации напряжений, качества обработки поверхности и размеров детали оценивается коэффициентом
кσ = кσ · β · αм. (10.4)
Расчет на прочность при переменных напряжениях (расчет на выносливость) на практике обычно выполняется как проверочный. Условие прочности принято записывать в виде
n ≥ [n], (10.5)
где [n] = 1,4 – 3,0 – нормативный коэффициент запаса усталостной прочности детали при данном цикле напряжений.
Коэффициент запаса по нормальным напряжениям определяется по формуле
Здесь ψ - коэффициент, учитывающий влияние асимметрии цикла на предел выносливости. В случае, когда известна величина предела выносливости при пульсирующем цикле σ0 ψ= (2 σ-1 - σ0)/σ0. При отсутствии значений σ0 (τ0) можно принимать ψ = σ-1 /s, где s = 1400 МПа – для углеродистых и низколегированных сталей; s = 2000 МПа – для легированных сталей.
Наряду с коэффициентом запаса по усталостному разрушению должен быть определен коэффициент запаса по текучести
В качестве расчетного следует принять меньший из коэффициентов nσ и nσT.
Аналогично вычисляют и коэффициенты запаса по касательным напряжениям:
Для плоского напряженного состояния, когда действуют нормальные и касательные напряжения, коэффициент запаса определяется по эмпирической формуле
Оболочки и трубы
Тонкостенные сосуды
Оболочки, имеющие форму тел вращения (рис. 11.1), стенки которых тонки (t ≤ 0,1D0), не имеют резких переходов и изломов при действии осесимметричных нагрузок (например, давления жидкости или газа), попадают под класс тонкостенных сосудов и могут быть рассчитаны по безмоментной теории.
Рис. 11.1
Связь между меридиональными σm и кольцевыми σt нормальными напряжениями (рис. 11.1) описывается уравнением Лапласа:
где ρm и ρt – радиусы кривизны серединной поверхности меридионального и кольцевого сечений на уровне рассматриваемой точки;
р – интенсивность внутреннего давления.
Для определения σm обычно используется зависимость
где Q – вес части сосуда и жидкости ниже рассматриваемого сечения.
Уравнения (11.1) и (11.2) позволяют найти величины σm и σt в каждой точке сосуда.
Рассмотрим частные случаи:
Сферический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис.11.2).
Рис. 11.2
Благодаря симметричности сосуда σm = σt = σ, ρm = ρt = D/2.
Из уравнения (11.1) находим
Цилиндрический сосуд под действием внутреннего давления газа (рис. 11.3).
Рис. 11.3
Для цилиндрической части сосуда имеем:
ρt = D/2; ρm = ∞; α=0
|
|
Из уравнения (11.1) находим σt = pD/2t. (11.4)
Из уравнения (11.2), полагая cos α = 1, Q = 0, σm = pD/4t. (11.5)
Напряжения в днищах определяем, как в сферическом сосуде:
σm(дн)= σt(дн)=pR1/2t. (11.6)
Напряжения в стенке трубы определяются аналогично, как для цилиндрической части тонкостенного сосуда.
Сравнение (11.4) и (11.5) показывает, что σt =2σm, т.е. напряжения, растягивающие стенки цилиндрической части сосуда, по окружности в 2 раза больше напряжений вдоль образующей. Поэтому разрушение котлов, труб обычно происходит от кольцевых напряжений вдоль образующей.
σm и σt являются главными напряжениями, σt = σ1, σm = σ2. Третье главное напряжение, перпендикулярное к поверхности сосуда
со стороны, где действует давление, σ3 = -р;
с противоположной стороны, σ3 =0.
В тонкостенных оболочках обычно величины σm и σt намного больше, чем интенсивность внутреннего давления р, и поэтому величиной σ3 можно пренебречь, т.е. считать равной нулю.
Так как в любой точке тонкостенного сосуда имеет место сложное напряженное состояние, для расчета на прочность в зависимости от материала следует пользоваться соответствующей гипотезой прочности
σэквI ≤ [σ]p
Для рассматриваемой задачи при неучете σ3 эквивалентные напряжения по третьей гипотезе прочности и по гипотезе Мора одинаковы, т.е.
σэквIII= σэквМ= σt (11.7)
а по энергетической теории
Если тонкостенный сосуд имеет резкие переломы в очертании (например, примыкание днищ к цилиндрической части), а также в местах закрепления, приложения сосредоточенных сил, установки патрубков, фланцев, у краев оболочки возникает изгиб. Зоны, прилегающие к таким местам, должны рассчитываться по моментной теории.