Определение двойного интеграла

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

КУРС ЛЕКЦИЙ

По дисциплине «Математический анализ»

Для студентов очной формы обучения

Раздел №4 «Кратные и криволинейные интегралы»

Волгодонск

 

Кратные интегралы.

Задача об объеме цилиндрического тела.

Определение: Пусть дана некоторая кривая L на плоскости и некоторая прямая а, не лежащая в этой плоскости. Через каждую точку кривой проведем прямую параллельную прямой а. Полученная поверхность называется цилиндрической поверхностью, причем кривая L называется направляющей, а прямая a – образующей.

Определение: Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное областью D в плоскости xy; цилиндрической поверхностью, у которой граница области D является направляющей, а образующие параллельны оси Z и поверхностью z=f(x,y).

Требуется найти объем полученного цилиндрического тела. Для этого используем правила:

1) Если тело разбить на не пересекающиеся части, тогда объем всего тела это сумма объемов всех частей;

2) Объем прямого цилиндра (цилиндрическое тело, ограниченное поверхностями z=h₁, z=h₂ и цилиндрической поверхностью, образующие которого параллельны оси z) равен произведению площади основания на высоту.

Область D произвольным образом разобьем на п частей.  - площадь i -ой части области D. На каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку . Таким образом, искомое цилиндрическое тело разбили на п частей. Заменим объем i -го цилиндрического тела объемом соответствующего прямого цилиндра, у которого площадь основания равна , а высота . Тогда объем i -го прямого цилиндра . Тогда объем всего цилиндрического тела . Тогда .

Дадим общее определение, не связанное ни с какими характеристиками.

 

Определение двойного интеграла.

Пусть в плоскости xy задана некоторая область D, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y). Разобьем область D произвольно на п частей, обозначим  - площадь i -ой части разбиения, на каждом участке разбиения произвольным образом выберем точку с координатами x_i, y_i  и составим , которая называется интегральной суммой.

Если существует конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек, тогда данный предел называется двойным интегралом от функции f(x,y) по области D.

,

где f(x,y) – подынтегральная функция;

D – область интегрирования;

dS – элемент площади.