Свойства двойных интегралов

1. .

Свойство справедливо для любого количества слагаемых.

2. .

3. Если , то .

4. Если  в области D, тогда ,

S – площадь области D.

5. Теорема о среднем: В области D существует точка , в которой выполняется равенство: , S – площадь области D.

6. Если область D разбита на 2 непересекающиеся части D₁ и D₂, тогда

.

Свойство справедливо, когда область D разбита на любое количество непересекающихся частей.

 

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Разобьем область D на части прямыми, параллельными осям координат x=const, y=const, тогда части будут являться прямоугольниками.

, dS=dxdy.

Таким образом, получаем двойной интеграл по области D:  

.

Определение: Область называется правильной в направлении оси х, если любая прямая параллельная этой оси пересекает границу области не более чем в 2-х точках.

Аналогично область является правильной в направлении оси у.

Если искомая область не является правильной, то ее нужно разбить на части, каждая из которых будет являться правильной в направлении данной оси.

Рассмотрим цилиндрическое тело.

Предположим, что область D является правильной в направлении оси y.

Проведем сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси х. Площадь сечения зависит от х, т.е. S(x) – площадь сечения.

.

Тогда площадь сечения будем находить как площадь криволинейной трапеции .

 - повторный интеграл.

Интеграл dy – внутренний интеграл, dx – внешний интеграл.

Если область D правильная в направлении оси х, тогда

.

Повторные интегралы одной области равны между собой.

Пример. Перейти от двойного интеграла к повторному.

, где D: x=0, x=1, y=0, y=e^x

.

Пример. Вычислить двойной интеграл , где D: y=x, y=2x, x=2.

.

;

.

 

Замена переменной в двойном интеграле.

Пусть дан двойной интеграл по некоторой области D и пусть в области D выполняется условие . Предположим, что для любой пары x,y из области D данная система имеет единственное решение, тогда справедливо равенство:

, где I – якобиан перехода.

.