Пусть требуется найти интеграл , причём непосредственно подобрать первообразную для мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении, положив
,
где - непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию. Тогда и имеет место равенство:
. (7)
Формула (7) называется формулой замены переменной под знаком неопределённого интеграла.
Пример:
Делаем замену , тогда , .
Замечание. При интегрировании иногда целесообразно подбирать замену переменной в виде не , а . Пусть, например, требуется вычислить интеграл . В результате подстановки , получаем:
.
Пример:
Замена: , .
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям имеет следующий вид:
.
Этой формулой обычно пользуются, когда подынтегральное выражение проще, чем подынтегральное выражение .
Пример:
Замечание. При нахождении не пишут промежуточную произвольную постоянную , так как она не оказывает влияния на окончательный результат.
|
|
Пример:
Правило интегрирования по частям применяется во многих случаях, например, для интегралов вида
, ,
, , ,
а также для некоторых интегралов, содержащих логарифмическую, обратные тригонометрические функции и корни.
Тема 11. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ