Для выяснения смысла натурального числа как меры величины все рассуждения будем вести на примере одной величины – длины отрезка.
Определение. Отрезок х состоит из отрезков х1,х2,х3,….хn, если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек за исключением общих концов. х= х1 х2 … хn.Длину отрезка х будем обозначать Х, а длину отрезка е обозначим через Е.
Определение. Если отрезок х состоит из отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число а называют численным значением длины Х при единице длины Е. пишут Х= а·Е или а= mЕ (Х).
Из данного определения получаем, что натуральное число как результат измерения длины отрезка показывает, из скольких единичных отрезков состоит отрезок, длина которого измеряется.
В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания.
Замечание 1. При переходе к другой единице длины численное значение длины изменяется, хотя отрезок остается неизменным.
Замечание 2. Если отрезок х состоит из а единичных отрезков е, а отрезок y состоит из b единичных отрезков е, то а =b <=> отрезки х и у равны.
|
|
Теорема 1. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка х равна сумме мер длин его частей.
Доказательство
Пусть m(Y)=a, m(Z) =b при единице Е, тогда отрезок у состоит из а частей длины Е, z состоит из b частей длины Е.Поэтому весь отрезок х состоит из а+b таких частей, значит m(X)=a+b=m(Y) + m(Z).
Таким образом, сумму натуральных чисел а и b можно рассматривать как меру отрезка х, состоящего из отрезков у и z мерами длин которых являются а и b.
Пример. В саду собрали 3кг смородины и 4 кг малины. Сколько килограмм ягод собрали в саду?
Теорема 2. Если отрезок х состоит из отрезков у и z, длины которых выражаются натуральными числами, то мера длины отрезка z равна разности мер длин отрезков х и у: а-b=mE(X)- mE(Y)= mE(X-Y).(доказательство аналогичное).
Пример. Купили 7 кг картофеля и капусты. Сколько куплено картофеля, если капусты купили 3кг?
С помощью сложения и вычитания решаются задачи, в которых величины связаны отношением «больше на», «меньше на».
Задача. Купили 3 кг моркови, а картофеля на 2кг больше. Сколько куплено картофеля?