Составляется вариационный возрастающий ряд из результатов измерений: 24,9; 25,1; 25,1; 25,2; 25,2; 25,6 м. Для крайнего члена этого ряда 26,6 м расчетный критерий Диксона
Как следует из табл. 6, по этому критерию результат 25,6 м может быть отброшен как промах при уровне значимости q =0,05.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина
.
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений. Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеряемой величины . Результат записывается в виде .
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты в том случае, если одна и та же величина измерялась не менее 30 раз. В 1908 году Стъюдент показал, что статистический подход справедлив и при меньшем числе измерений. Распределение Стъюдента при числе измерений переходит в распределение Гаусса, а при малом числе измерений отличается от него.
По Стъюденту для расчета абсолютной ошибки при малом числе
измерений вводится специальный коэффициент t (коэффициент Стъюдента), зависящий от надежности Р и числа измерений n:
|
|
,
где среднеквадратическая ошибка среднего арифметического.
Значения коэффициентов Стъюдента приведены в таблице 1.
Таблица 1. Коэффициенты Стъюдента, t | ||||
n | Значения надежности, Р | |||
0.6 | 0.8 | 0.95 | 0.99 | |
1 | 1.376 | 3.078 | 12.706 | 63.657 |
2 | 1.061 | 1.886 | 4.303 | 9.925 |
3 | 0.978 | 1.638 | 3.182 | 5.841 |
4 | 0.941 | 1.533 | 2.776 | 4.604 |
5 | 0.920 | 1.476 | 2.571 | 4.032 |
6 | 0.906 | 1.440 | 2.447 | 3.707 |
7 | 0.896 | 1.415 | 2.365 | 3.499 |
8 | 0.889 | 1.397 | 2.306 | 3.355 |
9 | 0.883 | 1.383 | 2.262 | 3.250 |
10 | 0.879 | 1.372 | 2.228 | 3.169 |
… | … | … | … | … |
0.842 | 1.282 | 1.960 | 2.576 |
Коэффициенты Стъюдента при Р=0.95 &
= 2.201 = 2.1788 = 2.1604 =2.1448 =2.1314 =2.1190 =2.1098 =2.1009 =2.0930 =2.0860
Из рассмотренного выше следует:
• величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического;
• при безграничном увеличении числа измерений , то есть интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины , стремится к нулю с увеличением числа измерений. При этом точность увеличивается до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, так как конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки (например, в 10% от систематической). Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение Р (например, Р =0.95), нетрудно найти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата измерений.
|
|
Ошибка! Ошибка связи.
Рис. 2.
На графике нормального распределения погрешностей (рис. 2) по оси абсцисс отложены интервалы с границами и указаны соответствующие им значения Р доверительной вероятности (надежности). Как видно из рис.2, ограничение случайной погрешности интервалом соответствует доверительной вероятности всего лишь в 68%. Такая оценка не дает уверенности в высоком качестве измерений, так как 32% от всего числа измерений может выйти за пределы указанного интервала и может дезинформировать потребителя информации. В целях единообразия в оценивании случайных погрешностей интервальными оценками чаще всего доверительная вероятность принимается Р= 0.95 (соответствует интервалу ). Лишь для особо точных и ответственных измерений допускается применять более высокую доверительную вероятность.
Для удобства в таблице 3 приведены значения числа измерений в зависимости от уровня задаваемой относительной ошибки и надежности результата Р.
Таблица 3.Число измерений n для получения ошибки изменения с заданной надежностью Р | ||||
Значения Р | ||||
0.5 | 0.9 | 0.95 | 0.99 | |
1.0 | 2 | 5 | 7 | 11 |
0.5 | 3 | 13 | 18 | 31 |
0.4 | 4 | 19 | 27 | 46 |
0.3 | 6 | 32 | 46 | 78 |
0.2 | 13 | 70 | 99 | 171 |
0.1 | 47 | 273 | 387 | 668 |
Если случайная величина имеет нормальное распределение, то вероятность ее отклонения от своего среднего значения не более чем на σ составляет 68,27 %, не более чем на 2σ — 95,45 % и не более чем на Зσ — 99,73 %.
Поскольку величина 0,9973 близка к единице, практически считается невозможным отклонение нормального распределения случайной величины от математического ожидания более чем на Зσ. Это правило, справедливое только для нормального распределения, называется правилом трех сигм. Нарушение его имеет вероятность Р = 1 - 0,9973 = 0,0027. Этим правилом пользуются при установлении границ допустимых отклонений допусков геометрических характеристик изделий и конструкций.
Учитывая изложенное, можно рекомендовать следующий порядок операций при обработке результатов прямых измерений:
1. Результаты измерений оформить в таблицу;
2. Вычислить среднее значение из n измерений;
3. Найти погрешности отдельных измерений;
4. произвести проверку выборки изменений на наличие промахов;
5. Вычислить квадраты погрешности отдельных измерений;
6. Определить среднеквадратичную ошибку среднего арифметического;
7. Задаться значением надежности (например, Р= 0.95);
8. Определить коэффициент Стъюдента t для заданных надежности и числе произведенных измерений;
9. Найти доверительный интервал (погрешность измерения);
10. Если величина погрешности результата измерения окажется сравнимой с величиной погрешности прибора , то в качестве границы доверительного интервала принять:
.
Если одна из ошибок меньше другой в три раза и более, то ее необходимо отбросить. ---------------------------------------------------------
На практике при прямых измерениях всегда производят 2 – 3 измерения, по которым убеждаются в воспроизводимости результатов, соблюдении методики измерений. Если разброс показаний превышает приборную погрешность, то производится 5 – 6 измерений и находится случайная погрешность .
Чтобы получать более полное представление об измерениях некоторой величины и иметь возможность сравнивать точность различных измерений (в том числе и величин разной размерности), принято находить и приводить относительную ошибку результата.
Окончательная запись результатов измерений величины х с учетом ошибок измерений должна иметь вид:
, с указанием размерности;
, в процентах.
Пример 1. Последовательно микрометром произведено 5 измерений диаметра стержня. Систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм. Результаты измерений и данные вычислений сведены в таблицу 2.
|
|
Измерение диаметра стержня Таблица 2
n | d, мм | ||
1 | 14.03 | 0.028 | 0.000784 |
2 | 14.01 | 0.008 | 0.000064 |
3 | 13.97 | -0.032 | 0.001024 |
4 | 13.98 | -0.022 | 0.000484 |
5 | 14.02 | 0.018 | 0.000324 |
70.01 | 0.00268 |
мм
Задавшись значением надежности Р =0.95 по таблице находят соответствующее значение коэффициента Стъюдента t =2.776
Вычисляют абсолютную ошибку:
| проверка | вычислений | в среде | exel |
|
|
|
|
|
|
|
| 14,03 | 0,03 | 0,000784 |
|
|
| 14,01 | 0,01 | 6,4E-05 |
|
|
| 13,97 | -0,03 | 0,001024 |
|
|
| 13,98 | -0,02 | 0,000484 |
|
|
| 14,02 | 0,02 | 0,000324 |
|
|
сумма | 70,01 |
| 0,00268 | 0,032135 | |
| 5 |
| 20 | 2,776 | t |
среднее | 14,002 |
| 0,000134 | 0,011576 |
|
|
|
|
|
|
|
14,002 ± 0.032(135)
Вычисленная абсолютная ошибка примерно в 6 раз больше заданной систематической ошибки, поэтому последней можно пренебречь.
Окончательный результат измерений:
при Р= 0.95
Обработку результатов измерений удобно производить, используя возможности математически ориентированной вычислительной системы MathCAD.
Для конструирования блоков в среде Mathcad используются три встроенных в систему редактора: текстовый, формульный и графический. Текстовый редактор служит для создания различных текстовых комментариев. Для вставки текста требуется выйти в меню «вставка» и в нем выбрать «текстовая область». Формульный редактор служит для создания математических выражений. Редактирование формул производится аналогично редактированию текстовых документов. Графический редактор служит для вывода информации в виде различных графиков и их редактирования.
Для вычисления погрешностей измерения в MathCAD используются следующие встроенные функции:
• для вычисления среднего арифметического применяют функцию , где - вектор, содержащий значений измеренной физической величины;
• для вычисления средней квадратичной ошибки отдельного результата используется функция ;
|
|
• для определения погрешности вычисления среднего используют выражение ;
• длина массива определяется через функцию ;
• интервал , в который с заданной достоверностью Р попадает истинное значение измеряемой величины, определяется с помощью выражения , где t – коэффициент Стъюдента, выбираемый из таблиц в соответствии с выбранными значениями достоверности Р.
Пример 2. Пусть произведены измерения длины отрезка l = (15.4± 0.3) мм и длины волны мм. Абсолютная ошибка второго измерения мм меньше, чем первого мм, но сравнивать точности измерения можно лишь сравнив относительные ошибки измерений:
.
Отсюда видно, что точность измерения длины волны ниже, чем измерение длины отрезка.
Важными характеристиками результатов измерения являются варианты графической иллюстрации рассеяния в виде построения гистограммы и (или) полигона распределения, наглядно показывающие частоту (или частость), с которой в пределах выбранного диапазона встречается тот или иной отсчет. Для их построения необходимо:
1) ранжировать имеющийся массив данных (расположить их по возрастанию);
2) выбрать число интервалов разбиения диапазона (правило Старджеса:
, где n – число измерений, В – число интервалов, округляется до целого в меньшую сторону;
3) определить ширину интервала: ;
4) графически: по оси абсцисс отложить границы интервалов разбиения, а по оси ординат от середин интервалов отложить частоты (частость) попадания в них отсчетов , где - количество измерений, попавших в данный интервал.
Полигон строится путем соединения отрезками прямой ординат, соответствующих частотам попадания отсчета в интервал, а гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников, основаниями которых являются сами интервалы, а высоты равны частотам попадания отсчетов в них.
Средства измерения
2.1. Гладкие калибры (с редства контроля).
Назначение, область применения
В современном массовом и крупносерийном производстве для контроля годности размеров обрабатываемых деталей используют особые средства измерений – калибры.
Калибр – это бесшкальный контрольно-поверочный инструмент, предназначенный для контроля правильности размеров или формы и расположения поверхностей изделия или его частей.
В зависимости от способа оценки годности размера, калибры делятся на нормальные и предельные.
Нормальные калибры используются для проверки степени соответствия действительного размера детали ее номинальному размеру. В качестве нормальных калибров широко используются различные шаблоны для проверки радиусов скругления, различных углов, профилей сложных фасонных поверхностей и т. д.
Большое распространение в настоящее время получили предельные калибры, исключающие субъективность результата контроля. Предельным калибром нельзя установить числовое значение действительного размера, можно только установить, находится ли размер детали в пределах заданного допуска, т. е. является ли размер «годным» или нет.
Ошибка! Ошибка связи.
Рис. 3. Калибры гладкие
Калибры изготавливают по одной из следующих схем:
• однопредельными, содержащими только один проходной или непроходной калибры;
• двухсторонними двухпредельными (наиболее распространены), у которых проходной и непроходной калибры расположены с разных сторон;
• односторонними двухпредельными, у которых проходной и непроходной калибры расположены с одной стороны последовательно один за другим.
Универсальные СИ.