Определение. Элемент а, являющийся действительным числом или од-ной из бесконечностей ( ; ; ) называется пределом последовате-льности {хп}, если какова бы ни была - окрестность элемента а , для нее существует номер N такой, что при п > N справедливо утвержде-ние: .
Определение. Если последовательность {xn} такова, что все ее эле-менты равны между собой: при , , то она называ-ется стационарной или постоянной [29].
Единственность предела сходящейся последовательности
Теорема. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.
Доказательство.
1. Используем для доказательства метод от противного.
2. Пусть существует последовательность {xn} , у которой имеются, по крайней мере, два различных предела: а , b .
3. Выберем произвольные и так, чтобы - окрестно-сть точки а не пересекалась с - окрестностью точки b. Это всегда мож-но сделать согласно лемме о непересекающихся окрестностях.
4. В соответствии с определением предела:
а) если , то :
|
|
б) если , то :
5. Обозначим через наибольший из номеров элементов последователь-ности и : .
6. Тогда для будет одновременно выполняться и
, следовательно, окрестности должны пересекаться:
.
7. Но это противоречит лемме. Ведь - окрестность точки а при пере-сечении с - окрестностью точки b дает пустое множество.
8. Полученное противоречие показывает, что принятое утверждение неверно и что теорема доказана [28].
Следствие. Числовая последовательность может иметь только один предел, конечный или бесконечный определенного знака.
Следствие является частным случаем теоремы [28].
Модуль
Тема №2
Предел последовательности
Лекция №5
1. Ограниченность сходящейся последовательности.
2. Переход к пределу в неравенствах.
3. Теорема о пределе сжатой переменной.
4. Теорема о необходимом и достаточном условии сходимости последовательности к числу .
5. Бесконечно малые последовательности.
6. Свойства бесконечно малых последовательностей.
7. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями.