По результатам многократных наблюдений определяются наилучшие значения измеряемой величины и оценивается погрешность измерения. Если проведено п наблюдений величины х и получен ряд значений х изм.= х1,х2, …, хп то ошибки + и - - равновероятны, даже, если мы ничего не знаем о природе ошибок.
В этом случае используется правило: при отсутствии информации о причинах наблюдаемого разброса за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять среднее арифметическое измеряемых значений:
(1)
В большинстве случаев x0 является лучшей оценкой истинного значения x, чем любое из значений xизм. Это единственное правило, принятое без всяких гипотез о данном конкретном эксперименте. При выполнении гипотезы о том, что эксперимент «проведен хорошо», за ошибку, которую мы можем совершить, принимая для x0 по порядку величины не больше ширины разброса, будет:
(2)
|
|
В простейшей методике обработки измерений величину r и принимают в качестве меры точности. Её называют абсолютной погрешностью по разбросу . Термин «абсолютная» отражает метод усреднения. Помимо средней арифметической ошибки используется и средняя квадратичная ошибка :
(3)
Средняя квадратичная ошибка входит в закон Гаусса:
(4)
где (x) – вероятность появления погрешности величины х; е = 2, 71…, – средняя квадратичная ошибка, 2 называется дисперсией измерений; х0 – среднее значение, (х – х0)= . Для распределения Гаусса r = 0,8 .
Средние ошибки складываются, также складываются и дисперсии независимых слагаемых:
Истинное значение измеряемой величины х, полученное в результате измерений х0 при погрешности этой величины лежит в пределах:
x о- .
Пусть означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем , тогда:
. (5)
Последнее выражение означает, что с вероятностью, равной , результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала . - доверительная вероятность или коэффициент надежности. Знание позволяет оценить степень надежности полученного результата.
Для нахождения случайной ошибки, таким образом, определяются два числа – величина ошибки (погрешности) и доверительная вероятность. Средней квадратичной ошибке соответствует доверительная вероятность 0,68; 2 - 0,95; 3 - 0,997. При числе наблюдений n = (4-5), но не меньше, доверительная вероятность интервала равна 75 – 80 % или выше. При непосредственных измерениях значение интересующей нас величины получается непосредственно из отсчета по прибору. При косвенных измерениях оно вычисляется как функция одной или нескольких вычисляемых величин.
|
|
При оценке погрешности непосредственного измерения встречаются следующие возможные ошибки:
1. Ошибки разброса.
2. Ошибки отсчитывания.
3. Инструментальные ошибки (ошибки градуировки).
Ошибки разброса
В них проявляются ошибки наводки, ошибки, связанные с нестабильностью или неопределенностью измеряемой величины или условий эксперимента и т.п. Единственным способом уменьшения или оценки ошибок разброса являются многократные наблюдения. Вычисляется по формуле (2):
.
Ошибки отсчитывания
Ошибки отсчитывания оцениваются наблюдателем субъективно. Необходимо, чтобы доверительная вероятность такой оценки была около 80%. Ошибка отсчитывания характеризуется предельной погрешностью отсчитывания. Если цена деления прибора или измерительного инструмента равна d, то наблюдатель может указать:
- при округлении до целых делений,
- при отсчете целых делений и половины,
- при отсчете десятых долей деления.
В учебной лаборатории считается обязательным отсчитывать все показания приборов с максимально возможной точностью и указывать достигнутую точность. Эту величину нельзя определить заранее для всех измерений. Её следует фиксировать при каждом отсчете. В большинстве случаев допускаемая инструментальная погрешность лежит в интервале от 0,5 d до 1 d.
Ошибки градуировки
Эти ошибки связаны с неточностью градуировки, не проявляются в разбросе, если измерения выполнены на одних и тех же приборах. Их возможная величина, характеризуемая предельной допускаемой погрешностью градуировки , указываются на шкале прибора или в паспорте. Если этого нет, то она отсчитывается равной цене деления шкалы прибора. Доверительная вероятность больше 80 %. Это гарантировано бюро поверки приборов.
Полная погрешность непосредственного измерения складывается из вышеперечисленных составляющих – ошибки отсчитывания , ошибки градуировки , ошибки по разбросу :
(6)
- общая погрешность или средняя абсолютная погрешность.
Если одна из складываемых величин больше, чем в 3 раза превышает каждую из двух других, то ими можно пренебречь и положить равной этой величине. Доверительная вероятность интервала будет 75 – 80 %.
При выполнении и обработке результатов прямых измерений следует руководствоваться следующими правилами:
1. Проводится не менее 4-5 наблюдений и их результаты хi (i = 1, 2,…, n) записываются вместе с погрешностью отсчитывания и градуировки:
2. Вычисляется наиболее вероятное значение величины:
.
3. Погрешность по разбросу вычисляется как
= r, если n 4,
= 1,5 r, если n = 3,
= 3 r, если n = 2,
где .
4. Вычисляется полная погрешность по формуле:
5. Записывается окончательный результат:
.
Если необходимо, к значению добавляется поправка, учитывающая, например, изменение величины с изменением температуры, т.е.
( - поправка) и тогда .