Рис. 6.8. Диффузия атомов внедрения

 

Уравнения диффузии

Получены в 1855 г. А. Фиком при исследовании биологических объектов.

Первый закон Фика:

             (6.28)

где J – плотность потока диффундирующих атомов;

С – концентрация;

D – коэффициент диффузии.

В одномерном случае:

                                (6.29)

т.е. если нет grad C, то J = 0.

Для нестационарного потока – второй закон Фика:

                           (6.30)

J меняется, так как меняется со временем С (рис. 6.9).

                     (6.31)

                     (6.32)

если D ¹ f (x).

 

 

Рис. 6.9. Второй закон диффузии

 

В трехмерном случае:

                              (6.33)

Это уравнение непрерывности, отражающее закон сохранения вещества.

Уравнения Фика в общем случае не решаются, а решаются только при определенных граничных и начальных условиях.

 

Решения уравнения диффузии

1. Диффузия из бесконечного источника

В технологии получения p-n перехода при диффузии из газовой среды вещество (BCl₃, PCl₅ и др.) поступает в полубесконечное тело через х = 0 и поверхностная концентрация С₀ сохраняется постоянной (рис. 6.10). Граничные условия:

C (x, t) = C₀ при х = 0, любых t

C (x, t) = 0     при х > 0, t =0                (6.34)

C (x, t) = C при х > 0, t > 0          

 

 

Рис. 6.10. Диффузия из бесконечного источника

 

Решение уравнения (5):

     (6.35)

Функции  и  табулированы. Для определения D надо построить распределение С / С₀ = f (х), наложить на него кривую , найти  и определить D, зная t и х. Чаще приходится строить распределение С (х), зная D при данной температуре.

2. Диффузия из ограниченного источника

Это диффузия из напыленной пленки, из слоя после загонки и др. (рис. 6.11).

 

 

Рис. 6.11. Диффузия из ограниченного источника

 

Пусть источник толщиной h расположен на х = 0

                  (6.36)

С₀×h = N₀    на единицу площади      (6.37)

Решение уравнения (6.32) имеет вид:

                   (6.38)

Коэффициент диффузии D определяется из графика (рис. 6.12):

                      (6.39)

 , t – известно          (6.40)

 

 

Рис. 6.12. Определение коэффициента диффузии D из распределения концентрации примеси С (х, t)

Измеряя D при разных температурах, можно определить Q (рис.6.13):

                      (6.41)

                       (6.42)

 

 

Рис. 6.13. Температурная зависимость коэффициента диффузии

 

Для определения D можно использовать метод изотопов, оптические методы, определение концентрации свободных носителей и др.