Векторный способ задания движения точки

Филиал «СЕВМАШВТУЗ» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский морской технический университет» в г. Северодвинске

 

Д.В. Кузьмин

 

 

КИНЕМАТИКА

 

Учебное пособие

Северодвинск

2004

УДК 531 (075.8)

 

Кузьмин Д.В. Кинематика: учебное пособие. – Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2004. – 50 с.

 

 

Ответственный редактор ст. преподаватель каф. «Проектирование подъемно-транспортного и технологического оборудования» Севмашвтуза Л.А. Ковалев.

 

Рецензенты: Зав. каф. «Робототехнические системы, машины и оборудование лесного компекса» Архангельского государственного технического университета,

 к.т.н., доцент Б.К. Микитюк;

Ведущий инженер НИТИЦ ФГУП ПО «Севмаш»

Ю.П. Голованов.

 

Учебное пособие «Кинематика» состоит из трех разделов: «Кинематика точки», «Кинематика твердого тела» и «Основы кинематики механической системы». Целью учебного пособия является оказание помощи студентам в установлении прочных взаимосвязей между лекционным курсом теоретической механики (раздел «Кинематика») и задачами, решаемыми на практических занятиях. В пособии дано строгое изложение основного теоретического материала с использованием современных математических методов и приведены подробно описанные примеры решения задач. Разделы «Кинематика точки» и «Кинематика твердого тела» предназначены для всех студентов, изучающих теоретическую механику; раздел «Основы кинематики механической системы» предназначен для студентов, учебная программа которых предусматривает углубленное изучение теоретической механики в течение двух семестров. Учебное пособие «Кинематика» может быть полезно студентам немеханических инженерных специальностей, изучающих дисциплину «Прикладная механика».

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Севмашвтуза

 

 

ISBN

 

© Севмашвтуз, 2004 г.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ………………………………………………………...5

ООсновные понятия………………………………………………………................5

Векторный способ задания движения точки…………………………………..6

ККоординатный способ задания движения точки………………………………6

Естественный способ задания движения точки………………………..............8

ДДвижение точки в полярных координатах…………………………… ……..11

ВВопросы для проверки усвоения материала…………………………………..12

2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА…………………………………………13

ООсновные понятия………………………………………………………………14

ЧЧисло степеней свободы твердого тела……………………………….............15

ВВекторно-матричный способ описания движения твердого тела…………...16

ВВращение твердого тела вокруг неподвижной точки……………………….17

ППроизвольное движение твердого тела……………………………..................18

ССкорость точки твердого тела в случае его произвольного

ддвижения…………………………………………………………………………19

УУскорение точки твердого тела в случае его произвольного

ддвижения…………………………………………………………………………21

ЧЧастные случаи движения твердого тела…………………………………….22

ВВращение вокруг неподвижной оси…………………………………………..23

ППлоское движение………………………………………………………………24

.Сложное движение точки………………………………………………………29

ВВопросы для проверки усвоения материала………………………………….38

 

3. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ………………...39

3.1. Классификация связей…………………………………………………….39

3.2. Ограничения, налагаемые связями на положения, скорости, ускорения и перемещения точек механической системы……………………………40

3.3. Действительные и виртуальные перемещения………………………….42

3.4. Обобщенные координаты…………………………………………………44

3.5. Вопросы для проверки усвоения материала……………………………..49

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………….50

 

 

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Основные понятия

Кинематика точки изучает движение точки в трехмерном пространстве относительно начальной точки отсчета, которая полагается неподвижной. Например, начало отсчета может принадлежать неподвижному твердому телу. Тогда, совершая движение, точка будет изменять свое положение относительно начала отсчета с течением времени. Задать движение точки означает дать способ определения положения, скорости и ускорения точки в любой момент времени. Следовательно, задачей кинематики точки является разработка способов задания движения точки, а также методов определения ее скорости и ускорения. Положение точки P относительно начала отсчета удобно определять с помощью радиус-вектора положения (рис. 1):

,                                      (1)

где  - единичные векторы, задающие в пространстве направления осей  декартовой системы координат,  - координаты радиус-вектора положения точки. Так как координаты начала отсчета , то , , , т.е. координаты вектора положения совпадают с координатами точки P.

				Рис. 2

 

 

Выражение (1) называется геометрической формой задания . Оно читается следующим образом: «чтобы получить , отложим расстояние x в направлении , прибавим к нему расстояние y в направлении , затем прибавим еще расстояние z в направлении ». Кроме этого, существует координатная форма задания  в виде вектора-столбца:

.                                                  (2)

Формы задания вектора (1) и (2) используются в задачах математического описания движения точки.

 

Векторный способ задания движения точки

Радиус-вектор  можно задать как вектор-функцию времени: . С течением времени конец вектора  описывает траекторию точки P (рис.2). Производная от по времени t называется скоростью точки P:

                                                   (3)

Производная от  называется ускорением точки:

                                      (4)

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в точке P, вектор ускорения – внутрь траектории, как будет показано в п. 1.4.