2020-10-12
96
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия 
множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,
.
Очевидно, что множества 
образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f: Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f: Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки y Î Y прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f: Х→Y называется несвязным над точкой y Î Y, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U 1 
U 2, где U 1, U 2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y) множества, то
f –1(U) = f –1(U 1) f –1(U 2), f –1(U 1) ∩ f –1(U 2) = Æ,
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f: Х→Y называется связным над точкой y Î Y, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f: Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f: Х→Y непрерывно и точка y Î Y. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) отображение f несвязно над точкой y Î Y;
(2) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества;
(3) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что каждая трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества;
(4) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что в каждой трубке f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество;
(5) существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для каждой трубки f –1(U) над окрестностью U Í Oy точки у существует непрерывная сюръективная функция φ: f –1(U) ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть непрерывное отображение f: Х→Y несвязное над точкой y Î Y, т.е. существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Таким образом, трубка f –1(U) над окрестностью U Í Oy распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества, т.е.
f –1(U) = О 1 
О 2, О 1 ∩ О 2 = Æ.
Из (2) следует (3). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества.
Из (3) следует (4). Пусть трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых замкнутых в этой трубке множества. Тогда, по теореме 1.2, в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество.
Из (4) следует (5). Пусть в трубке f –1(U) существует нетривиальное открыто-замкнутое в этой трубке множество. Тогда, по теореме 1.2, для трубки f –1(U) существует непрерывная сюръективная функция φ: f –1(U) ® {1, 2}.
Из (5) следует (1). Пусть существует такая окрестность Oy точки y Î Y, что для трубки f –1(U) над некоторой окрестностью U Í Oy существует непрерывная сюръективная функция φ: f –1(U) ® {1, 2}. Тогда, по теореме 1.2, трубка f –1(U) распадается на два дизъюнктных непустых открытых в этой трубке множества. Отсюда, по определению несвязного над точкой отображения, следует, что отображение f несвязно над точкой y Î Y. €
Определение 14. Отображение f: Х→Y называется послойно связным, если каждый слой f –1(y), где y Î Y, этого отображения является связным множеством.
Теорема 2.2 (о сохранении связности). Пусть отображения f: X ® Y и g: Z ® Y непрерывные и существует непрерывное сюръективное отображение φ: X ® Z, при котором f = g 
φ. Тогда, если отображение f связно над точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над точкой y Î Y (слой g –1(y) связен). В частности, если отображнение f связно (послойно связно), то и отображение g связно (послойно связно).
Доказательство. Пусть отображения f: X ® Y связное над точкой y Î Y, тогда для любой окрестности Oy точки y существует связная окрестность U Í Oy точки y, трубка над которой f –1(U) связна. Отображение φ непрерывное, значит (по теореме 1.5) образ связного множества f –1(U) (связного слоя f –1(y)) связен, т.е.множество φ (f –1(U)) (множество φ (f –1(y))) – связное.
Предположим, что отображение g несвязно над точкой y Î Y, т.е. существует такая связная окресность Oy точки y, что трубка g –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. (Предположим, что слой g –1(y) несвязен над точкой y Î Y).
По условию, f = g φ, следовательно,
f –1(U) = (g φ) –1(U) = φ –1(g –1(U)).
Отсюда,
φ (f –1(U)) = φ (φ –1(g –1(U))) = g –1(U)
(для слоя φ (f –1(y)) = g –1(y)). Получили противоречие, т.к. множество φ (f –1(U)) связное (слой φ (f –1(y)) связен), а множество g –1(U) (слой g –1(y)) – нет.
Пусть отображнение f связно (послойно связное), тогда, по определению 10 (11), оно связно над каждой точкой y Î Y (каждый слой f –1(y) связен). Возьмём произвольную точку y Î Y. Если отображение f связно над этой точкой y Î Y (слой f –1(y) связен), то и отображение g связно над этой же точкой (слой g –1(y) связен). В силу произвольности выбора точки y, заключаем, что отображение g связно над каждой точкой y Î Y (послойно связно). €
