Замкнутые отображения. Связь связности и послойной связности

Определение 15. Отображение f: X→Y называется замкнутым, если для каждого замкнутого множества F Í Х образ  f (F) является замкнутым множеством в Y.

Определение 16. Отображение f: X→Y называется замкнутым над точкой y Î Y, если для всякой окрестности О слоя f ^–1(y) Ì Х найдётся окрестность Oy точки y, трубка над которой f ^–1(Oy) содержится в данной окрестности О слоя f ^–1(y):

f ^–1(y) Í f ^–1(Oy) Í О.

Связь между замкнутостью в точке и общей замкнутостью устанавливает следующая

Лемма 2.1. Непрерывное отображение f: X→Y замкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто над каждой точкой y Î Y.

Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f: X→Y замкнуто. Возьмём произвольную точку y Î Y  и рассмотрим окрестность О множества f ^–1(y). Множество F = X \ О замкнуто в Х и F ∩ f ^–1(y) = Æ. Поэтому множество f (F) замкнуто в Y и точка y Ï f (F). Значит окрестность Oy = Y \ f (F) точки y обладает таким свойством f ^–1(Oy) ∩ F = Æ, следовательно, f ^–1(Oy) Ì О. Таким образом, отображение f замкнуто над каждой точкой y Î Y в силу того, что точка y взята произвольно.

Достаточность. Пусть непрерывное отображение f замкнуто над каждой точкой y Î Y. Предположим, что образ f (F) некоторого замкнутого в Х множества F не замкнут в Y. Пусть точка y Î [ f(F) ] \ f (F), т.е. принадлежит границе множества f (F). Множество X \ F является окрестностью множества f ^–1(y). Следовательно, существует такая окресность Oy точки y, что f ^–1(Oy) Ì X \ F. Но тогда Oy ∩ f (F) = Æ и поэтому точка y Ï [ f (F)].

Получили противоречие. Отсюда, отображение f замкнуто. €

Следующие утверждения указывают на некоторые важнейшие примеры замкнутых отображений.

Предложение 2.1. Непрерывное отображение f: X ® Y компактного пространства X в хаусдорфово пространство Y является замкнутым.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество F, замкнутое в Х. Оно будет компактным (по теореме 1.7). Тогда непрерывный образ f (F) компактного множества F будет компактен в Y (по теореме 1.9). Пространство Y хаусдорфово, следовательно, множество f (F) – замкнуто (в силу теоремы 1.8). Таким образом, отображение f является замкнутым. 

Следствие 2.1. Биективное непрерывное отображение f: X ® Y компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом.

Доказательство. Рассмотрим произвольное замкнутое подмножество F компактного пространства X. В силу предложения 2.1, образ f (F) – замкнутое множество. Тогда, по теореме 1.1, отображение f ^–1 является непрерывным, следовательно, f – гомеоморфизм.ÿ

Предложение 2.2. Пусть отображение f: X ® Y замкнуто над точкой y Î Y и пусть множество Z замкнуто в X. Тогда подотображение g = f |_Z: Z ® Y замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î Y), то и отображение g замкнуто.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и рассмотрим окрестность U Ì Z слоя g ^–1(y). Тогда в Х найдётся открытое множество U¢ такое, что U = U¢ Z. Множество O = U¢ (X \ Z) будет окрестностью слоя f ^–1(y). Отображение f замкнутое над точкой y Î Y, поэтому найдётся такая окрестность Oy точки y, что  f ^–1(Oy) Ì O. Тогда g ^–1(Oy) Ì Z O = Z U¢ = U.

В силу произвольности выбора точки y Î Y, можно заключить, что если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y, то и отображение g замкнутое над каждой точкой y Î Y. 

Предложение 2.3. Пусть отображение f: X ® Y замкнуто над точкой y Î T Í Y, где T – произвольное множество в Y.Тогдапод-отображение g = f | : f ^–1(T) ® T замкнуто над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто (над каждой точкой y Î T), то и отображение g тоже замкнуто (над каждой точкой y Î T).

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î T Í Y и некоторую окрестность О слоя g ^–1(y) = f ^–1(y), такую что

O = O' f ^–1(T),

где О¢ – открытое в Х множество.Так как отображение f замкнутое над точкой y, найдётся такая окрестность O'y в Y точки y, что       f ^–1(O'y) Ì О'. Тогда в Т существует такая окрестность Oy точки y, что Oy = Oy' T, и f ^–1(Oy) = g ^–1(Oy) Ì O' f ^–1(T) = О. Следовательно, отображение g будет замкнуто над y Î Y.

Если отображение  f замкнутое над каждой точкой y, то и отображение g будет замкнутым над каждой точкой y. 

Установим теперь связь между связными и послойно связными замкнутыми отображениями.

Предложение 2.4. Пусть отображение f: X→Y замкнуто над точкой y Î Y и слой f ^–1(y) является несвязным множеством. Тогда отображение f несвязное над точкой y. В частности, если отображение f замкнуто и каждый его слой несвязен, то оно несвязное над каждой точкой y Î Y.

Доказательство. Поскольку слой f ^–1(y) является несвязным множеством, то найдутся такие непустые открытые в f ^–1(y) множества О ₁ и О ₂, что О ₁ ∩ О ₂ = Æ и О ₁ О ₂ = f ^–1(y). Тогда в Х существуют открытые множества Q ₁ и Q ₂ такие, что

O ₁ = Q ₁   f ^–1(y),       O ₂ = Q ₂   f ^–1(y).

Рассмотрим замыкание этих множеств  и  в Х. Их пересечение  есть замкнутое множество, и F f ^–1(y) = Æ (т.к. О ₁ и О ₂ замкнутые в f   ^–1(y), как дополнения до открытых). Множество О = (Q ₁   Q ₂) \ F открыто в Х, причём f ^–1(y) Ì О. Для этой окрестности О (в силу замкнутости отображения f) найдётся такая окрестность Oy точки y, что f ^–1(Oy) Ì О. Пусть G ₁ = f ^–1(Oy) Q ₁ и G ₂ = f ^–1(Oy) Q ₂ – открытые в f ^–1(Oy) множества. Так как

Ì Х \ f ^–1(Oy),

то G ₁ ∩ G ₂ = Æ. Тогда f ^–1(Oy) = G ₁ G ₂. Следовательно, трубка f ^–1(Oy) несвязна.

Пусть U Í Oy – произвольная окрестность точки y. Тогда  и  – дизъюнктные множества, открытые в f  ^–1(U), и непустые, т.к. О ₁ Ì  и О ₂ Ì . Следовательно, для любой окрестности U Í Oy трубка f  ^–1(U) несвязна. Отображение f несвязно над точкой y по определению.

Если отображение f замкнутое над каждой точкой y Î Y  и каждый его слой несвязн, тогда, для произвольной точки y, отображение f будет несвязным над ней, следовательно, и над каждой точкой y Î Y. 

Из установленного предложения автоматически вытекает

Следствие 2.2. Пусть отображение f: X→Y замкнуто над точкой y Î Y и связно над точкой y. Тогда слой f ^–1(y) является связным множеством. В частности, если f замкнутое и связное отображение, то оно послойно связное.

Предложение 2.5. Пусть отображение f: X→Y замкнутое и послойно связное. Тогда оно связное.

Доказательство. Возьмём произвольную точку y Î Y и предположим, что отображение f несвязно над точкой y. Тогда существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f ^–1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y. Зафиксируем некоторую такую связную окрестность U, для которой выполняются следующие условия:

f ^–1(U) = О ₁ О ₂,  О ₁ ∩ О ₂ = Æ,

где О ₁ и О ₂ – непустые открытые в f ^–1(U) множества.

Слой f ^–1(y) связен и f ^–1(y) Ì f ^–1(U), отсюда, f ^–1(y) содержится либо в О ₁, либо в О ₂ (по теореме 1.4). Рассмотрим произвольную точку х ₁Î О ₁. Образ этой точки f (x ₁) = y ₁ Ì U. По условию, слой f ^–1(y ₁) связен и f ^–1(y ₁) Ì О ₁ О ₂ = f ^–1(U). Поскольку О ₁ ∩ О ₂ = Æ и х ₁Î О ₁, следовательно (по теореме 1.4), f ^–1(y ₁) Ì О ₁. (Другими словами, если одна точка слоя принадлежит множеству О ₁, то и весь слой принадлежит этому множеству.)

Отсюда, так как точка х ₁ произвольная, то О ₁ = f ^–1(f (O ₁)). Аналогично доказывается, что О ₂ = f ^–1(f (O ₂)).

Отображение f замкнутое, тогда, по теореме 2.3, подотображение g = f: f ^–1(Oy) ® Oy также замкнутое. Таким образом, множества f (O ₁) = g (O ₁) и f (O ₂) = g (O ₂) будут непересекающимися открыто-замкнутыми в U и U = f (O ₁) f (O ₂), т.е. окрестность U несвязна. Это противоречит выбору окрестности U. 

Для замкнутых отображений итоговую взаимосвязь между послойной связностью и связностью теперь можно выразить в форме следующей теоремы:

Теорема 2.3. Замкнутое отображение f: X→Y связно тогда и только тогда, когда оно послойно связно.

(Вытекает из следствия 2.1 и предложения 2.5).

Из последней теоремы и предложений 2.2 – 2.3 получаются такие следствия:

Следствие 2.3. Пусть отображение f: X→Y замкнутое, Z Í X замкнуто в Х. Подотображение g = f |_Z: Z ® Y является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Следствие 2.4. Пусть отображение f: X→Y замкнутое, T Í Y произвольное множество. Подотображение g = f | : f ^–1(T) ® T является связным тогда и только тогда, когда оно послойно связное.

Рассмотренные здесь свойства будут использованы в следующих пунктах в качестве основы для построения примеров связных и несвязных отображений.