Сумма векторов и произведение вектора на число

ТЕМА 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Программы письменных теоретических опросов (на 10 минут)

Первый теоретический опрос.

Знать определения: направленного отрезка, нулевого направленного отрезка, длины направленного отрезка, коллинеарных направленных отрезков, сонаправленных и противоположно направленных направленных отрезков, вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов, противоположных векторов, вектора параллельного плоскости, компланарных векторов. Суммы векторов, разности векторов, произведения вектора на число.

Знать формулировки: свойства сложения векторов, свойства произведения вектора на число, теорему о разности векторов, теорему о коллинеарных векторах, теорему о компланарных векторах.

Второй теоретический опрос.

Знать определения: системы линейно зависимых и линейно независимых векторов, базиса векторного пространства, ортонормированного базиса, координат вектора в данном базисе, угла между векторами, скалярного произведения векторов.

Знать формулировки: свойства систем линейно зависимых и линейно независимых систем векторов, теоремы 1, 2, 3 о линейной зависимости систем из одного двух и трех векторов и следствия из них, теорема о координатах вектора, теорему о вычислении скалярного произведения в ортонормированном базисе и следствия из нее, свойства скалярного произведения векторов.

СУММА ВЕКТОРОВ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а, Если направленный отрезок а, то вектор а можно обозначать АВ.

Длиной вектора называется длина любого его представителя.

Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так: а ↑↑ b. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓ b.

Вектор называется параллельным прямой, если любой его представитель либо параллелен прямой, либо лежит на этой прямой. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Коллинеарные векторы будем обозначать так а ││ b.

Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)

Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что АВ = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» понимать отложить вектор а от какой либо точки О, т.е. построить точку А такую, что а = ОА.

Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (- а).

Суммой векторов а и b называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор АВ = а, от точка В отложим вектор ВС = b, тогда с = а + b = АС. Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис. 1) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы ОА = а и ОВ = b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор ОС = а + b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 2)

Рис. 1 Рис. 2

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а а + 0 = 0 + а.

2°. Для любого вектора а а + (- а) = (- а) + а = 0.

3°. Для любых векторов а и ba + b = b + a (свойство коммутативности).

4°. Для любых трех векторов a, b, c ( a + b)+ c = a + (b + c) (свойство ассоциативности).

Произведением число λ на вектор а (или произведением вектора а на число λ)будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющей двум условиям: 1)длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора а │ b │= │ λ ││ а │, 2) если λ 0, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ < 0, то вектор b противоположно направлен с вектором а.

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а 1 а = а.

2 °. Для любого вектора а 0 а = а.

3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).

4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.

5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ( a + b ) = λ a + λ b.

Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма п векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы п векторов строим эту сумму по правилу п-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.

ЗАДАЧА № 1

Дан правильный шестиугольник АВСДEF с центром О. Построить вектор

АВ – EF +2 ОF.

РЕШЕНИЕ

1) АВ – EF +2 ОF = АВ + FE +2 ОF

2) Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора FE, затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2 ОF.

Тогда АВ – EF +2 ОF = АF.

ОТВЕТ. Искомая сумма равна вектору АF.

ЗАДАЧА № 2.

АВСДА₁В₁С₁Д₁ – параллелепипед. Построить вектор

- ½ С₁А₁ + СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁)

РЕШЕНИЕ

1) – ½ С₁А₁ + СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁) = ½ А₁С₁ + СА₁ + АД + ½ СВ + ½ А₁В₁

2) Поменяем местами слагаемые ½ А₁С₁ + СА₁ + АД + ½ СВ + ½ А₁В₁ =

АД + ½ СВ + ½ А₁В₁ + ½ А₁С₁ + СА₁

3) Откладываем направленные отрезки из данных векторов следующим образом:

АД, ½ СВ, ½ А₁В₁, ½ А₁С₁, СА₁, где М – середина АД, О = АС ВД.

АД + ½ СВ + ½ А₁В₁ + ½ А₁С₁ + СА₁ = АА₁.

Замечание. Задачи такого типа имеет разные пути решения, но ответ должен быть один и тот же.
При решении данной задачи можно было рассуждать следующим образом:

– ½ С₁А₁ + СА₁ – ДА + ½ (СВ – В₁А₁) = ½ А₁ С₁ + СА₁ + АД + ½ (СВ +