Средняя продолжительность восстановления (MTD), как математическое ожидание распределения времени восстановления

Таблица 4.5 Механизмы отказа с причинами и примерами.

Механизмы отказов	Причины отказов	Примеры
Старение (изменения в структуре материала)	Использование материала, несоответствующего услови­ям нагружения, искровое из­лучение, агрессивные среды, нарушение условий хранения	Выкрашивание в подвижных соединениях конструкции из-за применения неэффектив­ной смазки, изменения вку­совых свойств продуктов питания
Усталостное разрушение = хрупкость при динами­ческих нагрузках	Отклонения в геометричес­ких размерах, вибрация, ко­лебания, перегрузка, дис­баланс, концентрация напря­жений, межкристаллитная коррозия	Поломка осей, подвесные рессоры, катастрофа самолёта.
Статический излом при воздействии разовой нагрузки	Перегрузка, дефекты материала конструкции, хладноломкость	Разрыв трубы, поломка зуба шестерни в коробке передач
Коррозия	Отсутствие защитных по­крытий, плохая консервация, ошибка при монтаже, хране­нии, транспортировке, не­правильный подбор мате­риалов в сопряжениях	Ржавление кузова, выход из строя электрических контактов
Износ	Недостаточная смазка, перегрев, загрязнение	Задир поршня, нагрев подшипника
Разъединение	Недостатки конструкции, монтажа	Разъединение всех видов раздвижных и неподвижных соединений
Разложение	Антисанитарные условия хранение, переработка про­дуктов питания, агрессивные среды, нарушение сроков хранения	Непригодность продуктов питания, медикаментов, пластмасс
Деформация	Температурные колебания, дефекты материала, недостатки конструкции	Изгиб мачты, искривления труб, усадка текстильных материалов
Пожар, взрыв	Дефект изоляции, искрение, человеческий фактор	Возгорание кабеля, применение открытого огня в запрещённых местах
Биологическое разложение	Нарушение условий и сроков хранения	Гниение пищевых продуктов

Показатели надёжности невосстанавливаемых единиц продукции.

Основными показателями надёжности в этом случае являются:

• средняя наработка до отказа (MTTF), как математическое ожидание времени работы до отказа, определяемое через плотность распределения времени безотказной работы.

В том случае, когда плотность распределения подчиняется экспоненциальному закону, при котором интенсивность отказов является постоянной величиной, средняя наработка до отказа равна обратной величине интенсивности отказов:

• вероятность безотказной работы, как вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ единицы продукции не возникает;

• вероятность отказа, как вероятность того, что при определённых условиях отказ единицы продукции возникает до достижения заданного значения наработки;

• частота отказов, как плотность вероятности (закон распределения) времени работы единицы продукции до отказа.

Показатели надёжности восстанавливаемых единиц продукции

Наработка на отказ, как среднее значение интервалов времени между соседними отказами.

Для ожидаемых значений показатели надёжности генеральной совокупности/партии единиц продукции, усреднённые значения, полученные по одной выборке, являются приблизительными.

Взаимосвязи показателей надёжности

Между рассмотренными показателями надёжности существуют следующие взаимосвязи, которые могут быть использованы для практических приложений:

частота отказов приблизительно равна вероятности отказа;

квота отказов (установленное/разрешённое количество отказов в единицу

времени ) приблизительно равна интенсивности отказов;

интеграл от кривой распределения вероятности безотказной работы равен средней наработке до отказа. В первом приближении эта величина может быть принята постоянной;

вероятность безотказной работы и вероятность отказа в сумме равны единице, так же как сумма (интеграл) частоты отказов и вероятности интенсивности работы. В табл. 4.6 приведён обзор буквенных обозначений

Таблица 4.6Обзор буквенных обозначений

	Характеристика безотказности/долговечности, определённая по результатам выборки
	Статистическая оценка среднего значения показателя безотказности/долговечности по результатам выборки
	Параметр формы кривой распределения, определённой по результатам выборки
	Минимальное значение показателя безотказности/долговечности, определяемое по результатам выборки
	Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов, определяемое по результатам выборки
	Вероятность отказов, (относительная сумма отказов) определяемая по результатам выборки. В сетке долговечности может иметь обозначение
	Квота отказов, приближённое значение интенсивности отказов, определённое по результатам выборки
	Математическое ожидание средней долговечности для генеральной совокупности
	Интенсивность отказов для генеральной совокупности
(t)	Текущее время
a	относительная частота отказов, относительное стандартное отклонение определённое также по
A(t)	Абсолютная сумма отказов (число отказов или предельных состояний, до возникновения которых ведутся испытания)
b	Параметр формы кривой распределения для генеральной совокупности
B(t)	Количество единиц продукции, имеющих отказы в течение времени эксплуатации/испытаний
	Количество испытываемых единиц продукции в начальный момент to
d	относительная частота отказов, относительное стандартное отклонение случайной величины, определяемое также по
G(t)	Вероятность отказа, относительная сумма отказов для генеральной совокупности (например в сетке долговечности), аналог (функция распределения)
g(t)	Плотность распределения
MTTF	Время до первого отказа, средний интервал между отказами при распределении по экспоненциальному закону (EV)
R(t)	Вероятность безотказной работы при постоянной интенсивности отказов при генеральной совокупности.
t	Может означать любую временную характеристику
T	Характеристика безотказности/долговечности для генеральной совокупности
	Минимальная наработка до первого отказа, период безотказной работы
	Заданное расчётное/контрольное время

Данные об условиях эксплуатации, продолжительности ремонтов и технических обслуживании содержатся в технической документации на эксплуатацию данной единицы продукции. Графическое отображение вероятности законов распределения, используемых в расчётах надёжности приведено на рис. 4. 35

g(t) G(t) интегральная кривая G(t)

0,6 плотность распределения 1

0,4 -0,632 -0,632

0,5 b=0,5

0,2 4

1 1

0,1 b=0,5

2 t

0 t

T=5 t T=5 T=5

Линеаризованная функция

распределения

Рисунок 4. 35 Графическое отображение вероятности законов распределения, используемых в расчётах надёжности

Из рисунка 4.26 следует:

• при b < 1 интенсивность отказов в зависимости от t падает. Отсюда, при b < 1 можно определить характеристику отказов в ранней фазе эксплуатации единицы продукции.

• для b = 1 интенсивность отказов постоянна. Она определяется из простого отношения a(t) = I/to; отсюда, при b = 1 кривая соответствует фазе постоянной интенсивности отказов.

• для b > 1 возрастает характеристика интенсивности отказов, что соответствует поздней фазе эксплуатации единицы продукции.

Описание изменения характеристики надёжности с помощью «кривой в виде ванны» и распределения вероятности.

На приведённом ниже рисунке изображена временная зависимость интенсивности отказов «λ» в виде хорошо известной «кривой, в виде ванны», разбитой на три отрезка. Для рассматриваемого множества однородных единиц продукции эти отрезки отображают следующее: ранняя фаза отказов называется «детской болезнью» единицы продукции ихарактеризует период приработки. Интенсивность отказов в этой фазе постепенно снижается в соответствии с этой теоретической моделью. По достижении некоторого момента кривая принимает вид «дна ванны» это фаза постоянной интенсивности отказов, при которой распределение долговечности подчиняется экспоненциальному закону. Эта фаза часто охватывает длительный период, в течение которого отказы случайны. В конце фазы ветвь кривой снова возрастает, что является началом поздней фазы отказов по износу вследствие прогрессирующего старения единиц продукции. В этой фазе происходят «износовые» отказы. Кривая в виде ванны представлена на рис. 4.36

	Ранняя Фаза Фаза фаза постоянной интенсивности износа

Рисунок 4.36 Интенсивность отказов λ(t) в зависимости

от рассматриваемого промежутка времени:

Распределение Вейбулла (Weibull).

Среди непрерывных распределений закон Вейбулла является одним из наиболее часто применяемых законов в технических задачах (описание разбросов усталостной прочности стали, пределов её упругости, разбросов в сроках службы радиоэлектронной аппаратуры, описание надёжности сложных технических систем и т.д.).

Распределение Вейбулла является универсальным, так как при изменении параметров оно в пределе может описывать процессы нормального распределения, логарифмически нормального, экспоненциального и др.

Трёхпараметрическое распределение Вейбулла (WV)

, где (4.15)

Т = наработка до отказа/на отказ

b = параметр формы кривой распределения

при значении 0,5 < b < 1 наблюдаются ранние (приработочные) отказы,

при b = 1 отказы носят случайный (внезапный) характер (WV= EV)

при b > 1 отказы приобретают износовый характер.

В поздней фазе эксплуатации, когда происходят износовые отказы, выделяются три периода:

при значении 1 < b < 2 происходит медленный подъём кривой интенсивности отказов,

при b = 2 кривая интенсивности отказов возрастает линейно

и при b > 2 происходит её ускоренный подъём.

При этом когда

b > 3, распределение Вейбулла приближается к нормальному закону распределения (NV): WV≈NV

Здесь to в зависимости от рассматриваемой фазы эксплуатации соответствует времени её начала, либо времени её окончания.

При

t_o = 0 начало ранней фазы отказов (AF) совпадает с началом координат и отказы начинаются сразу же с момента ввода единицы продукции в эксплуатацию.

> 0 до начала ранней фазы отказов (AF) есть период безотказной работы (t = 0 до to).

Аналогичную «кривую в виде ванны» можно рассматривать при анализе человеческой смертности. Для математического расчёта подобной вероятности также используется распределение по Вейбуллу, но в преобразованном через интегральную вероятность виде:

(4. 16)

ti - параметр характеризующий старение населения, и для конкретного случая является константным. При негативном значении ti (ti < 0) он определяет «инкубационный период», когда демографическая ситуация может рассматриваться как «демографическая молодость» населения. При позитивном значении ti (ti > 0) - период, когда демографическая ситуация рассматривается как «демографическая старость» населения;

to - характеристика долголетия.

Для значений t = to и ti = 0 функция F(t) имеет значение

F(t) =1- 1/е = 63,2121 %.

Для распределения Вейбулла плотность распределения имеет вид:

(4. 17)

Интенсивность отказов, как параметр плотности распределения и вероятности безотказной [1 - F(t)] сводится к сравнительно простой формуле:

(4.18)

Планирование требований к надёжности