В центральной предельной теореме описываются условия, при которых возникает нормальный закон распределения. Оказывается, что он возникает всякий раз, когда случайная величина может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа попарно независимых случайных величин, каждая из которых сравнительно мало влияет на всю сумму.
Пусть случайные величины (*) попарно независимы и каждая из них обладает математическим ожиданием и дисперсией: , . Обозначим через Sn сумму , через Аn сумму , через Bn сумму .
Будем говорить, что к последовательности (*) применима центральная предельная теорема, если для любых чисел t 1, t 2, при справедливо предельное соотношение
, .
Иными словами, при случайная величина Sn имеет приближенно нормальное распределение с параметрами а = и s =.
Теорема Ляпунова. В этой теореме устанавливаются достаточно общие условия, выполнение которых влечет применимость центральной предельной теоремы к последовательности (*). Эти условия охватывают большинство практических случаев.
|
|
Будем дополнительно предполагать, что у случайных величин Хi существуют абсолютные центральные моменты третьей степени . Если для последовательности (*) справедливо предельное соотношение 0, , то для последовательности (*) справедлива и центральная предельная теорема.
Можно показать, что если одинаково распределенные и независимые случайные величины, то для последовательности (*) справедлива центральная предельная теорема.