Внутри движущейся жидкости построим параллелепипед АВСДА1В1С1Д1 (рис. 4), рассматривая его как некоторое неподвижное относительно координатных осей пространство, через которое протекает жидкость.
Рис. 4
За время dt через грань АВСДА во внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости dMx, равная
,
а вытекает через грань А1В1С1Д1 А1 масса .
Здесь плотность и скорость U на входе в общем случае не равны плотности 1 и скорости U1 на выходе. При этом изменение и U обусловливается изменением только координаты x, так как втекание и вытекание происходит одновременно. Поэтому
; .
следовательно,
.
Но
,
а − есть бесконечно малая величина высшего порядка малости относительно других слагаемых и ею можно пренебречь.
Поэтому
.
Если масса жидкости за время dt внутри параллелепипеда увеличилась за счет притока на величину dMX, а уменьшилась за счет вытекания на величину dM1X, то изменение массы вследствие движения вдоль координатной оси ОХ будет равно:
Аналогично найдем, что в итоге движения жидкости вдоль осей ОХ и ОZ изменение массы за время dt соответственно будет равным:
|
|
;
.
Следовательно, общее изменение массы за время dt определяется по формуле:
.
Это изменение массы при условии неразрывности движения должно равняться изменению массы, обусловленному изменением плотности. В начальный момент времени tH масса внутри параллелепипеда
dMH =dxdydz.
В конечный момент (t+dt) плотность изменяется. Это изменение происходит независимо от координат, поэтому
.
Следовательно, в конечный момент времени tk=t+dt масса жидкости в объеме параллелепипеда
.
Таким образом, приращение массы за время dt находиться по формуле:
.
При условии неразрывности , т.е.
или после сокращения на dxdydzdt
(3.15)
Это и будет искомое уравнение неразрывности. В частном случае –при установившемся движении −плотность от времени не зависит и .
Поэтому уравнение неразрывности примет вид
(3.16)
И, наконец, для несжимаемой жидкости (=const) уравнение неразрывности примет вид:
(3.17)
Посмотрим, каким образом можно интерпретировать принцип сплошности движения применительно к струйке жидкости (см. 3.3 рис.3). Выделим в струйке двумя бесконечно близкими сечениями и , находящимися на расстоянии dS друг от друга, объем
.
Масса жидкости, вошедшая в рассматриваемый объем через сечение , в течение некоторого элементарного промежутка времени dt при расходе в струйке dQ будет равна dQdt, масса же, вышедшая через противоположное сечение , будет равна
.
Разность между поступающей и вышедшей массой должна, очевидно, равняться изменению за тот же промежуток времени массы ddS, первоначально заключавшейся в выделенном объеме, т.е. должна равняться
|
|
.
Следовательно, имеем равенство
,
откуда
,
или
. (3.18)
В случае мало сжимаемой жидкости изменением плотности вдоль пути dS можно пренебречь и придать уравнению неразрывности более простое выражение:
. (3.19)
Для несжимаемой жидкости (=const) уравнение неразрывности принимает вид
. (3.20)
В случае
, (3.21)
откуда dQ =const или, так как dQ=U ,
U = const. (3.22)
Таким образом, объемный расход жидкости остается неизменным на всем протяжении данной элементарной струйки.
Так как расход потока жидкости равен алгебраической сумме расходов элементарных струек, условие сплошности потока для несжимаемой жидкости можно записать в виде
. (3.23)