Рассмотрим некоторые стандартные критерии значимости. Предположим, что проверяется гипотеза о среднем значении нормально распределенной совокупности при неизвестной дисперсии Н0: m = m0. Статистикой критерия может служить величина
распределенная по стандартному нормальному закону.
Если же дисперсия неизвестна, то для проверки гипотезы Н0: m = m0 используется статистика
имеющая распределение Стьюдента с (n - 1) степенью свободы.
Пример
Проверить гипотезу о том, что средний диаметр валиков, изготавливаемых на станке – автомате, равен m0 = 12 мм, если по выборке из n = 16 валиков найдены среднее значение x = 11,7 мм и несмещенная дисперсия s² = 0,25 мм². Распределение диаметра валика предполагается нормальным.
Проверяется нулевая гипотеза Н0: m = m0 при альтернативной гипотезе Н1: m < m0. Принимаем уровень значимости α = 0,05. Выборочное значение статистики Стьюдента по формуле
tв = (11,7 – 12)*4 / 0,5 = -2,4.
Для левосторонней критической области положение границы
zкр = zα = t 0,05(15) = -t0,95 (15) = -1,753.
|
|
Рисунок – Положение критической области при проверке гипотезы о диаметре валиков
Выборочное значение статистики – 2,4 попало в критическую область, нулевая гипотеза о том, что средний диаметр валиков равен 12 мм, отвергается.
Часто на практике возникает задача о сравнении средних значений двух нормально распределенных совокупностей, т.е. о проверке гипотезы Н0: m1 = m2. Если соответствующие дисперсии известны, то в качестве статистики критерия принимается величина
распределенная по стандартному нормальному закону.
Пример
Используя двусторонний критерий, проверить гипотезу о равенстве внутренних диаметров втулок, изготавливаемых на двух станках по одному чертежу. Из деталей, изготовленных на первом станке, отобрано n1 = 12 втулок, при этом средний диаметр x1 = 8,5 мм, на втором станке – n2 = 14, x2 = 8,3 мм. Распределение диаметров предполагается нормальным, дисперсии известны и равны соответственно σ1² = 0,2 мм², σ2² = 0,25 мм².
Нулевая гипотеза Н0: m1 = m2 при альтернативе Н1: m1 ≠ m2. Принимаем уровень значимости α = 0,05.
Выборочное значение статистики определяется по следующей формуле:
uв = (8,5 – 8,3) / (0,2/12 + 0,25/14)1/2 = 1,08.
Для двусторонней критической области положение границ соответственно равно:
zкр1 = zα/2 = u 0,025 = -u0,975 = -1,96;
zкр2 = z1-α/2 = u 0,975 = 1,96.
Выборочное значение статистики 1,08 попало в область принятия решения, нулевая гипотеза о том, что диаметры втулок одинаковы, принимается.
Рисунок – Положение критической области при проверке гипотезы о диаметре втулок
Аналогичным образом решаются вопросы проверки гипотез о дисперсиях. В частности, если проверяется гипотеза H0: σ1² = σ2² о равенстве дисперсий двух нормально распределенных совокупностей при неизвестных математических ожиданиях, используется статистика
|
|
имеющая распределение Фишера с числами степеней свободы (n1– 1) и (n2– 1), где n1 и n2 – объемы соответствующих выборок, s1² и s2² - несмещенные дисперсии; предполагается, что s1² > s2².