Оценка коэффициентов модели парной регрессии с помощью выборочного коэффициента регрессии

Классический метод наименьших квадратов для модели парной регрессии

Предположим, что между результативной переменной и факторной переменной существует линейная связь, которая записывается равенством:

(2)

Суть метода наименьших квадратов состоит в том, что нужно рассчитать такие значения коэффициентов которые минимизировали бы сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений результативной переменной от теоретических значений , т.е. доставляли минимум функции (2):

(3)

Для определения минимума функции двух переменных рассчитываются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются нулю. Полученная система уравнений называется стационарной системой уравнений для функции (2). В результате преобразования стационарной системы уравнений получим систему двух нормальных линейных уравнений:

Решением системы нормальных уравнений являются оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии:

Разделим числитель и знаменатель на :

где – среднее значение результативной переменной; – среднее значение факторной переменной; – среднее арифметическое значение произведения результативной и факторной переменных; – дисперсия факторной переменной; – ковариация между результативной и факторной переменными.

Для проверки правильности оценки коэффициентов модели регрессии может быть проведено сравнение сумм (при этом допустимо расхождение из-за округления расчетов).

Модель парной регрессии может быть записана в следующем виде:

Действительно:

где - значение результативной переменной; - значение факторной переменной; - среднее значение результативной переменной; - объем выборочной совокупности; - среднее значение факторной переменной; - выборочный коэффициент регрессии по - выборочный парный коэффициент корреляции:

где - среднее арифметическое значение произведения факторной и результативной переменной; - выборочное среднеквадратическое отклонение результативной переменной ; - выборочное среднеквадратическое отклонение факторной переменной

Выборочный коэффициент регрессии показывает насколько в среднем, изменится результативная переменная при изменении факторной переменной на единицу своего измерения.

Выборочный парный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между изучаемыми переменными.

Можно выделить несколько особенностей парного корреляционного коэффициента: коэффициент изменяется в пределах

Если то связь между переменными обратная.

Если то связь между переменными прямая.

Если то связь между переменными отсутствует.

Если или то связь между изучаемыми переменными функциональная. При таком значении парного коэффициента корреляции, регрессионный анализ между изучаемыми переменными не проводится.

Пример 1. Используя условие примера 1 (лекция 3, вычислить выборочный парный коэффициент корреляции

Решение: Воспользуемся формулой:

Запишем модель парной регрессии: где - выборочный коэффициент регрессии по : Тогда модель регрессии будет иметь вид: или

Экономическая интерпретация данной модели регрессии: если инвестиции к примеру предприятия в основной капитал изменится на одну денежную единицу, то объем производства в среднем изменится на 0,21 денежных единиц.