Надо отметить, что равные матрицы и эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.
Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.
Т.к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.
Пример. Определить ранг матрицы.
~
~
,
RgA = 2.
Пример: Определить ранг матрицы.
~
~
~
,
Rg = 2.
Пример. Определить ранг матрицы.
~
,
Þ Rg = 2.
Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.
Теорема о базисном миноре.
Теорема. В произвольной матрице А каждый столбец (строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
|
|
Таким образом, ранг произвольной матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в матрице.
Если А- квадратная матрица и detA = 0, то по крайней мере один из столбцов – линейная комбинация остальных столбцов. То же самое справедливо и для строк. Данное утверждение следует из свойства линейной зависимости при определителе равном нулю.
Матричный метод решения систем линейных уравнений.
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Метод удобен для решения систем невысокого порядка.
Метод основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Составим матрицы: A = ; B =
; X =
.
Систему уравнений можно записать:
A×X = B.
Сделаем следующее преобразование: A-1×A×X = A-1×B,
т.к. А-1×А = Е, то Е×Х = А-1×В
Х = А-1×В
Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.
Пример. Решить систему уравнений:
Х = , B =
, A =
Найдем обратную матрицу А-1.
D = det A = 5(4-9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = -25 – 10 +5 = -30.
M11 = = -5; M21 =
= 1; M31 =
= -1;
M12 = M22 =
M32 =
M13 = M23 =
M33 =
A-1 =
;
Cделаем проверку:
A×A-1 = =E.
Находим матрицу Х.
Х = = А-1В =
×
=
.
Итого решения системы: x =1; y = 2; z = 3.
Несмотря на ограничения возможности применения данного метода и сложность вычислений при больших значениях коэффициентов, а также систем высокого порядка, метод может быть легко реализован на ЭВМ.
Метод Крамера.
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
|
|
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
det A ¹ 0;
Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.
Теорема. (Правило Крамера):
Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными
в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
xi = Di/D, где
D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.
Di =
Пример.
A = ; D1=
; D2=
; D3=
;
x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;
Пример. Найти решение системы уравнений:
D == 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
D1 = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
x1 = D1/D = 1;
D2 = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
x2 = D2/D = 2;
D3 = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
x3 = D3/D = 3.
Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.
Если система однородна, т.е. bi = 0, то при D¹0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.
При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.
Для самостоятельного решения:
; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.
Решение произвольных систем линейных уравнений.