Определение. Простые домены считаются совместимыми по объединению, если они состоят из элементов одного типа

Определение

Определение

Определение

Простые домены считаются совместимыми по объединению, если они состоят из элементов одного типа.

Для приведенных выше примеров домены D₁ и D₂ не совместимы по объединению, а D₁ и D₃ – совместимы по объединению.

Два отношения считаются совместимыми по объединению, если

• оба отношения имеют одно и то же множество атрибутов,

• одноименные атрибуты двух отношений определены на совместимых по объединению доменах.

Так, в приведенных выше примерах отношения R₁ и R₃ совместимы по объединению, так как их одноименные атрибуты определены на совместимых по объединению доменах.

Если нужно проверить совместимость по объединению отношений, использующих в своих схемах разные имена атрибутов, тогда в соответствии с семантикой атрибутов можно переименовать их, используя операцию переименования. После этого полученные отношения проверяются на совместимость по объединению. Например, пусть дано еще одно отношение R₄(B₁:D₁, B₂:D₃), и надо проверить, совместимо ли по объединению данное отношение с отношением R₁. Сначала, используя операцию переименования, получаем новое отношение R₄(A₁:D₁, A₂:D₃):

R₄: переименовать B₁ в A₁, B₂ в A₂

После этого можно проверить отношения R₁ и R₄ на совместимость по объединению. С таким же успехом можно использовать операцию переименования

R₁: переименовать A₁ в B₁, A₂ в B₂.

Рассмотрим теперь все операции реляционной алгебры. В определении операций и примерах строчными буквами обозначены реализации отношений, прописными – схемы отношений; запись вида r(R) означает: реализация отношения r, удовлетворяющая схеме R.

Объединение отношений

Объединением двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение

s = r₁ ∪ r₂, для которого:

a. схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b. реализация отношения представляет множество кортежей, принадлежащих реализации r₁ и/или r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ ≡ R, R₂ ≡ R.

s = r₁ ∪ r₂ = s(R), s = {t_i | t_i ∈ r₁ и/или t_i ∈ r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 ∪ r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a1

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b2

c2

a2

b1

c2

a2

b2

c1

a2

b2

c2

Свойства операции:

_• коммутативна – r₁ ∪ r₂ ≡ r₂ ∪ r₁

_• ассоциативна – r₁ ∪ (r₂ ∪ r₃) ≡ (r₁ ∪ r₂) ∪ r₃ ≡ r₁ ∪ r₂ ∪ r₃

Вычитание отношений

Вычитанием двух отношений r₁(R₁) и r₂(R₂), совместимых по объединению, называется отношение

s = r₁ – r₂, для которого:

a. схема отношения совпадает с R₁ или R₂,

b. реализация отношения представляет множество кортежей, принадлежащих реализации r₁, за исключением тех, которые имеются в r₂.

Формальная запись:

Даны r₁(R₁), r₂(R₂), r₁ = {t_1i}, r₂ = {t_2i}, R₁ ≡ R, R₂ ≡ R.

s = r₁ – r₂ = s(R), s = {t_i | t_i ∈ r₁ и t_i ∉ r₂}

Пример:

r1

(A

B

C)

r2

(A

B

C)

s = r1 – r2

(A

B

C)

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a1

b1

c1

a1

b2

c1

a2

b2

c1

a2

b1

c2

a2

b1

c2

a2

b2

c2

Свойства операции:

• не коммутативна

• не ассоциативна

Пересечение отношений