Наибольшее распространение в теории надежности получи­ли следующие распределения отказов: экспоненциальное, нор­мальное, Вейбулла, биномиальное, равномерное

Количественные характеристики надежности различных объектов получают на основе экспериментальных данных о рас­пределении случайных отказов, поэтому теория вероятностей и математическая статистика составляют математические основы теории надежности.

Различные объекты в силу своих специфических особенно­стей, связанных с условиями эксплуатации, физико-химической природой их элементов и технологическими особенностями про­изводства, имеют отказы, распределение которых присуще рас­сматриваемому объекту. Однако, идя на некоторые упрощения, можно выделить ряд общих законов распределения отказов, которые с достаточной степенью точности могут быть исполь­зованы для родственных объектов

Нормальный закон распределения плотности отказов применяется при оценке надежности электромеханических объектов, подверженных износу и старению, т. е. объектов, в эксплуатации которых учитывается постепенный отказ.

Плотность отказов при их нормальном распределении описывается функцией вида

где Т_с – среднее время (математическое ожидание);

σ – среднее квадратическое отклонение значения времени отказов. Если t=Т_с, то функция f(t) принимает максимальное значение. Веро­ятность отказа оценивается интегралом от плотности f(t), т.е.

.

Вероятность безотказной работы P(t) равна событию, противоположному Q(t), следовательно,

Для нормального закона справедливо условие, при котором Q(t) = Q(+Зσ > t > -Зσ) = 0,997, а также то, что при t=σ функция плотности распределения имеет максимальную крутизну и точку перегиба. Нормальный закон является весьма общим. Он описывает явления, зависимые от множества различных факторов. При неограниченном возрастании числа независимых испытаний нормальный закон можно рассматривать как предельный, к которому сходятся другие распределения случайных величин. Графики функций плотности распределения и вероятности приведены на рис. 1.6.

Рис. 1.6 Законы распределения отказов: а - экспоненциальное распределен; б — функция вероятности безотказной работы экспоненциального распределения; в — распределе-ние отказов Вейбулла; г—функция вероятности беэотказной работы для распределения Вейбулла; д— нормальное распределение; е — функция безотказной работы для нормального распределения

Для вычисления вероятности отказов пользуются таблицами интеграла вероятностей |8]:

Так, если требуется вычислить вероятность отказа в интервале времени а — 3, то, зная среднее значение Т_с и пределы интегри­рования, находят

Экспоненциальный закон надежности приме­няется для случая редких событий, когда поток отказов являет­ся простейшим. Обычно его используют для оценки надежности объектов разового применения, а также для оценки надежности сложных объектов без учета специфики отдельных устройств, входящих в объект исследования. При этом предполагается, что все изделия имеют экспоненциальное распределение отка­зов, а их поток отказов является простейшим.

Простейший поток отказов удовлетворяет требованиям стационарности, ординарности и отсутствия последствия.

Стационарность означает, что отказы во времени распреде­лены равномерно. Вероятность возникновения отказов в интер­вале времени \/ t не зависит от того, где этот интервал распола­гается, а зависит лишь от величины интервала.

Ординарность означает, что в заданном интервале времени вероятность появления более одного отказа мала. На практике это условие выполняется, так как расчет надежности осуществляется на время до появления первого отказа.

Отсутствие последствия означает, что во всякий последу­ющий момент времени поток отказов не зависит oт того, как он протекал в предыдущие моменты времени. Это условие для электронной аппаратуры является довольно жестким, и оно выполняется не всегда полностью.

Если в большом числе N экспериментов определена интенсивность отказов), то за время t количество отказов составит n = λt.При условии, что N→∞, можно записать

Q(t)=λt/ N.

Очевидно, вероятность непоявления отказов составит

Р(t)=1-Q(t).

Для случая первого и повторного эксперимента вероятность непоявления отказа будет равна

P(t)=(1-Q(t))²

Очевидно, при N опытах будем иметь

Р(t)=(1-λt/N)^N.

Логарифмируя обе части уравнения, получаем

1nР(t)=Nln(1-λt/N).

Разложим ln(1-λt/N) в ряд при условии, что

+ 1 > λt/N > -1; ln (1 - λt/N)=-λt/N-(λt)²/2N-…,

следова­тельно,

ln P(t) = -λt-(λt)²/2-…

Учитывая, что

λt>>(λt)²/2,

имеем

ln Р(t) =-λt,

а следовательно, Р(t)=е^-λt.

Этот закон вероятности непоявления отказов называют экспоненциальным законом надежности.

Вероятность возникновения одного отказа определяется как со­бытие противоположное вероятности безотказной работы: Q(t)=1-е^-λt. Следовательно, закон распределения плотности отка­зов будет иметь вид f(t)=λе^-λt. Графическое представление экспоненциального закона надежности дано на рис. 1.6.

Распределение Вейбулла получено в результате исследования сроков службы объектов, которым присущи усталостные явления, например вакуумные приборы, шарикоподшипники и т.д.

Плотность распределения отказов описывается зависимостью , где α —число отказов, на которое ведется расчет; То - среднее время между отказами. Вероятность безот-казной работы определяется по формуле .

Графическое представление закона распределения Вейбулла

приведено на рис. 1.6.

Биномиальное распределение используется для оценки надежности избирательно- суммирующих схем, приме-няемых в информационно-измерительных системах, всистемах телефонной связи и т.д. Это распределение дискретных событий, имеющих два состояния, и пашем случае отказ или безотказность.

Вероятность безотказной работы описывается зависимостью вида

(1.6)

где n - общее число объектов системы; т — наименьшее число объектов, обеспечивающих функционирование рассматриваемой системы; k - числообъектов из совокупности n, обеспечивающих функционирование систем; — число сочетаний из п по m; P - вероятность безотказной работы одного объекта.

Использование биноминального распределения рассмотрим на примере. Предположим, что система состоит из трех объектов. Каждый объект имеет два состояния: исправен, отказал. Нас интересует работоспособность системы для случая, когда из трех объектов работают не менее двух. Требуется определить вероятность отказной работы.

Рассмотрим возможные состояния системы, при которых она работоспособна:

а) первый и второй объекты работают, третий отказал; б) первый и третий объекты работают, второй отказал; в) второй и третий объекты работают, первый отказал; г) первый, второй и третий объекты работают.

Введем обозначения: Р₁,Р₂, Р₃ — вероятности безотказной ра­боты объектов; Q₁,Q₂,Q₃ - вероятности отказов объектов.

Система работоспособна при любом из перечисленных состо­яний, следовательно, Р_c=P₁P₂Q₃+P₁P₃Q₂+P₂P₃Q₁+P₁P₂P₃. Обычно объекты в системе одинаковы, поэтому Р₁=... = Р, Q¹=...= Q, следовательно, Р_с=3Р²+Р³.

Или, используя формулу (1.6), найдем

В данном случае i принимает значения 2 и 3, т. е. то число, которое показывает по полезную комбинацию состояний объектов.

Кроме перечисленных pacпределений, могут быть использо­ваны распределение равномерной плотности; нормальное лога­рифмическое; гамма-распределение и др. Однако на практике наиболее часто применяют экспоненциальное, Вейбулла, нор­мальное и биноминальное распределения.

Оценка надежности при наличии перемежающихся отказов базируется на использовании равномерного распределения от­казов. При этом вероятность появления отказов составляет Q(t)=Ct, где С — параметр плотности распределения отказов. Следовательно, вероятность безотказной работы P(t)=1-Ct.

Таким образом, вероятность безотказной работы в данном случае является линейной функцией времени. Предположение о равномерном распределении перемежающихся отказов лишь приближении отражает фактическую картину отказов радио-аппаратуры и является наиболее подходящим для вычислительной аппаратуры.

Изложенные математические модели надежности широко используются в процессе конструирования на всех стадиях разработки, что говорит о несомненной общности рассмотренных моделей. Остановимся на некоторых приближенных методах расчета надежности. При этом воспользуемся некоторыми сведениями об интенсивностях отказов, заимствованными из работ [16, 20].