Среди множества специфических проявлений свойств выделяют несколько самых общих. Наиболее общие проявления свойств объектов измерения характеризуются отношениями эквивалентности, порядка и аддитивности. Отношение как одну из форм взаимосвязи предметов, явлений, процессов изучают математика, логика, математическая логика. Рассмотрим некоторые математические и логические понятия. Для удобства их названия расположены в алфавитном порядке.
Аддитивный — нецелый, суммарный, полученный в результате сложения, прибавленный. В математике аддитивностью называют следующее свойство: значение величины целого объекта равно сумме величин, соответствующих частям целого, при любом варианте разбиения объекта на части.
Ассоциативность — сочетание, соединение. Законы ассоциативности в математике: для сложения (а + b) + с = а + (b + с), для умножения (а х b) x с = а х (b x с). При двукратном производстве логической операции над тремя высказываниями можно соединить (ассоциировать) первое и второе высказывания и произвести над ними операцию, а затем ту же операцию произвести над полученным результатом и третьим высказыванием. Но можно ассоциировать второе и третье высказывания. В обоих случаях результат должен быть одним и тем же.
Дистрибутивный — разделенный, распределенный, относящийся к каждому предмету и понятию одного класса. В математике операция умножения дистрибутивна относительно операции сложения: а х (b + с) = ab + ас. В математической логике законы логического _ сложения (дистрибутивности конъюнкции) читаются так: А и (В или С) есть то же самое, что А и В или А и С.
Дихотомия — сечение, разделение на две части. В дихотомическом суждении в логике выражается результат деления некоторого класса объектов на две части; одна из этих частей характеризуется наличием известного признака, а другая — его отсутствием.
Коммутативный — меняющийся, подвергающийся перемещению, переместительный. Коммутативность — свойство алгебраической операции, сущность которого заключается в независимости результата операции с двумя элементами от той последовательности, в которой берутся эти элементы. Операции сложения и умножения чисел являются коммутативными: х + у = у + х, ab = bа, операция деления таковой не является: х: у Ф у: х.
Монотонность — свойство некоторых математических и логических операций, состоящее в том, что направление возможного изменения результата операции зависит только от направления изменения тех элементов, над которыми данная операция производится. Функция сложения (умножения) монотонна, поскольку при увеличении, неизменности или уменьшении слагаемых (сомножителей) их сумма (произведение) тоже увеличивается, остается неизменной или уменьшается. Монотонные функции бывают возрастающими и убывающими.
Отношение порядка — вид отношения между двумя элементами, обозначаемый символами > или <. Непустое множество, в котором зафиксировано отношение порядка между его элементами, называют упорядоченным множеством.
Симметричность — такой вид отношения между объектами, который не изменяется в том случае, если объекты поменять местами. Иначе говоря, при симметричности отношений перестановка объектов не приводит к изменению вида отношения. Равенство и неравенство симметричны, поскольку выражения a = b и b = a, а^с и с^а попарно равносильны (эквивалентны). Выражения типа «больше» или «меньше» антисимметричны: если а > b, то b < а; если а < с, то с > а.
Транзитивность — свойство отношений, состоящее в том, что если первый элемент отношения сравним со вторым, а второй — с третьим, то первый элемент сравним с третьим. Например, если а = b и b = с, то а = с; если а < Ь и Ь < с, то а < с.
Эквивалентность — операция математической логики, позволяющая из двух высказываний «A» и «B» получить новое высказывание «А эквивалентно В». Новое высказывание истинно тогда и только тогда, если А и В оба истинны или оба ложны. Примеры: отношения тождества высказываний (А ~ В) или величин (а = b ), отношение параллельности между прямой и плоскостью.
Наиболее общие проявления отношений свойств — отношения эквивалентности, порядка и аддитивности — описываются в математической логике набором простейших постулатов (аксиом). Каждому из указанных видов отношений одновременно присущи свойства всех соответствующих постулатов.