Лекция 6.(4 ч.) Средние величины. 1. Экономическая теория: курс интенсивной подготовки/ И.В

ЛИТЕРАТУРА

1. Экономическая теория: курс интенсивной подготовки/ И.В. Новикова[и др.]; под ред.И.В. Новиковой, Ю.М, Ясинского – 3 изд. Мн., 2010. – 400с.

2. М.З. Ачаповская. Экономическая теория. Курс лекций для неэкономических Специальностей вузов. Мн., 2010 – 432с.

3. Экономическая теория: учеб.пос./Л.Н. Давыденко[и др.]; под общ. ред. Л.Н.Давыденко. – Выш. шк.,2008 – 352с.

4. Экономическая теория. Проктикум: учебн.пос./Л.Н.Давыденко, Е.Л. Давыденко, И.А. Соболенко, - Минск: Выш.школа, 2008.-255с.

5. Экономическая теория: учеб.пос./под ред. М.Н. Базылевой, Н.И. Базылева. Минск: Современная школа – 2008

6. Экономическая теория: учеб.пос. для студентов/под редакцией И.В. Новиковой, Ю.М. Ясинского.- Минск: Академия управления при Президенте РБ, 2008-261с.

7. Курс экономической теории: учебник/под ред. М.И.Плотницкого. - Мн: Книжный дом: Мисанта – 2005

8. Лемешевская Л.М. Экономическая теория: тесты, ситуации, задачи: учеб. пособие/ Л.В.Лемешевская. Мн: Книжный дом; Мисанта,2005 – 336 с.

Бичик С.В. Основы экономической теории: Пособие/ С.В. Бичик.–Мн: Выш.шк., 2004.-237с.

9. Зубко Н.М. Экономическая теория/Н.М. Зубко, А.Н. Зубко.-Мн.: Выш.шк., 2004.-237.

10. Экономическая теория: Учеб.пос./Под общ.ред. В.Л. Клюни, И.В. Новиковой.-Мн.: Тетрасистемс, 2002.-400с.

Под средней величиной понимается обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности в конкретных условиях места и времени. Предположим, студенты группы имеют различный уровень знаний по дисциплине «Статистика». После проведения экзамена и оценки всех студентов можно рассчитать средний балл по группе. Для этого складываются все набранные баллы за экзамен, и полученная сумма делится на количество всех студентов. В этом примере обобщению подвергается признак – успеваемость студентов по дисциплине «Статистика».

Признак, по которому рассчитывается средняя величина, называется осредняемым. Величина осредняемого признака у каждой единицы совокупности называется ее индивидуальным значением. По всей совокупности (группе студентов) осредняемый признак является варьирующим – то есть у всех студентов знания по статистике различны – варьируются от неудовлетворительных до отличных.

Средние величины дают сводную (итоговую) характеристику массовых общественных явлений, так как строятся на основе большого количества индивидуальных значений варьирующего признака. Найденная средняя отражает объективный уровень знаний студентов, достигнутый в процессе развития явления (накопления знаний по статистике) к определенному моменту (конец семестра, зачетная неделя, дата проведения экзамена).

Средняя величина отражает то общее, что характерно для всех единиц изучаемой совокупности. Она уравновешивает влияние всех факторов, действующих на величину признака, и выявляет основную тенденцию развития. Действие индивидуальных признаков погашается в средней величине. В совокупном влиянии типичных и индивидуальных факторов, которое уравновешивается и взаимно погашается в обобщающих характеристиках, проявляется в общем виде известный из математической статистики фундаментальный Закон больших чисел.

Средняя, рассчитанная по совокупности в целом, называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы, - групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Средние показатели иногда приводят к необъективным выводам при проведении экономико-статистического анализа. Это связано с тем, что средние величины погашают, игнорируют те различия в количественных признаках отдельных единиц совокупности, которые реально существуют и могут представлять самостоятельный интерес.

Правильное исчисление средних величин предполагает выполнение следующих требований:

1. Качественная однородность совокупности, по которой исчислена средняя. Это означает, что исчисление средних величин должно основываться на методе группировок, обеспечивающем выделение однородных, однотипных явлений.

2. Исключение влияния на исчисление средней величины случайных, сугубо индивидуальных причин и факторов.

При вычислении средней величины важно установить цель ее расчета и так называемый определяющий показатель (свойство), на который она должна быть ориентирована.

Определяющий показатель может выступать в виде суммы значений осредняемого признака, суммы его обратных значений, произведения его значений и т.п. Связь между определяющим показателем и средней выражается в следующем: если все значения осредняемого признака заменить их средним значением, то сумма или произведение в этом случае не изменит определяющего показателя.

Средние величины делятся на два класса: степенные средние (средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя кубическая); структурные средние (мода, медиана). Для наглядности, наиболее часто применяемые в практических исследованиях, формулы вычисления различных видов степенных средних величин представим в таблице 3.

Таблица 3. Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени	Формула расчета
Простая	Взвешенная
1) Гармоническая	-1		, где
2) Геометрическая
3) Арифметическая
4) Квадратическая
5) Кубическая

Средняя арифметическая (простая) применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующего признака для всей совокупности образуется как сумма значений признаков у отдельных ее единиц. Ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующего признака и делению полученной суммы на общее количество единиц совокупности:

,

где - средняя величина,

- отдельные значения (варианты) признака (i = 1, 2,.. n),

- численность совокупности.

Пример. Найдем средний стаж работы сотрудников фирмы (лет):

5 2 3 10 7 9 4 2 4 2 3 5 9 3 5.

Средняя величина стажа 15 сотрудников с помощью средней арифметической вычисляется следующим образом: . Следовательно, средний стаж работников фирмы составляет около 5 лет (4,86).

Средняя арифметическая (взвешенная) используется в тех случаях, когда известны отдельные значения признака и их веса ():

,

где - варианты осредняемого признака, - частота, которая показывает, сколько раз встречается i -ое значение в совокупности.

Пример. Найдем средний стаж сотрудников фирмы, если известны данные о численности работников с определенным значением стажа (табл.):

Таблица

стаж работы (), лет	Количество сотрудников (), чел.
Итого:

Вычислим средний стаж работы по фирме:

.

Средняя арифметическая рассчитывается различными способами в дискретных и интервальных вариационных рядах. Дискретный вариационный ряд - это ряд значений признака, выраженных целыми числами:

Пример.

Таблица.

Число детей в семье(), чел.
Количество семей ()

В дискретных рядах варианты признака умножаются на частоты, эти произведения суммируются, и полученная сумма произведений делится на сумму частот:

Таким образом, среднее число детей в семье - 2 ребенка.

В интервальных рядах значение признака задано в виде интервалов, поэтому, прежде чем рассчитывать среднюю арифметическую, нужно перейти от интервального ряда к дискретному. Для этого в каждой группе находится среднее значение интервала как полусуммы его верхней и нижней границ. Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариантов, подлежащих усреднению.

Пример. Имеются следующие данные о возрасте сотрудников организации:

Таблица.

№ группы	Возраст (), лет	Количество сотрудников ()	Середина интервала по возрасту ()
1.	17-25
2.	25-35
3.	35-50		42,5
4.	50 и более		57,5

Середину интервала по возрасту найдем, складывая нижнюю и верхнюю границы интервала и разделив результат пополам:

1) (17 + 25) /2 =21

2) (25 + 35) /2 =30 и т.д.

Последний интервал открытый. Чтобы найти верхнюю границу этого интервала, предположим, что его ширина такая же, как в предыдущем интервале, т.е. 15 лет. Следовательно, верхняя граница последнего интервала – 65 лет. Таким образом, средний возраст сотрудников по фирме составляет:

года.

Если веса () заданы не в абсолютных показателях, а в относительных, то формула расчета средней арифметической будет следующей:

,

где - относительные величины структуры, показывающие, какой процент составляют частоты вариантов в сумме всех частот. Если относительные величины структуры заданы не в процентах, а в долях, то средняя арифметическая рассчитывается по формуле:

.

Разновидностью средней арифметической является средняя прогрессивная. Данный вид средней величины рассчитывается не для всех значений осредняемого признака, а только для тех, которые обладают «лучшими» или наибольшими значениями, т.е. выше среднего уровня.

Пример. Предположим, что у 20 случайно отобранных сотрудников зафиксировали следующий ежемесячный доход в тыс. руб.:

10 5 4 1 2 3 8 2 6 7 4 5 7 2 3 4 5 1 9 15.

Для нахождения средней прогрессивной необходимо найти среднюю простую:

.

Теперь из первоначальной совокупности удалим варианты, значения которых ниже найденного среднего уровня: 10 5 4 1 2 3 8 2 6 7 4 5 7 2 3 4 5 1 9 15.

Выпишем оставшиеся результаты: 10 8 6 7 7 9 15.

Найдем среднюю прогрессивную на основе оставшихся значений:

.

Следовательно, средний уровень зарплаты среди людей, получающих высокий заработок (выше среднего) составляет 8,85 тыс. руб.

Средняя хронологическая применяетсядля моментного ряда с равными интервалами между датами (например, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года):