2014-02-02
3226
Рассмотрим частный случай движения снаряда под действием только опрокидывающего момента при равномерном прямолинейном движении центра масс. При таком движении
(9.13)
Кроме того тушащие моменты и момент Магнуса отсутствуют, то есть
(9.14)
Выпишем дифференциальные уравнения вращательного движения (8.7.41) – (8.7.43), поделив на В
Замыкающие соотношения (8.7.45) запишутся
Получим дифференциальные уравнения для углов
Подставим (9.18)-(9.20) в (9.16)
(9.21)
Подставим (9.18)-(9.20) в (9.17) с учётом (9.1)
(9.22)
Рассмотрим (9.15). Из него следует, что
, или в соответствии с (9.12)
, (9.23)
где определяется из начальных условий. Таким образом первый вывод заключается в том, что проекция угловой скорости снаряда на ось снаряда остаётся постоянной
(9.24)
Введём постоянную
(9.25)
Тогда уравнение (9.21) перепишется
(9.26)
или
или (9.27)
Домножим (9.27) на полагая (или угол неопределён)
(9.28)
последнее уравнение переписывается в виде
(9.30)
и допускает первый интеграл
(9.31)
где - определяется из начальных условий. При (9.32)
|
|
|
Выразим из (9.31) производную, то есть угловую скорость прецессии
(9.33)
Примечание:
В частности при, или для малых углов, т.е. (9.34)
Рассмотрим (9.22), подставив в него (9.33), получим
(9.35)
Это уравнение справедливо и для немалых углов, и может быть получено также с помощью уравнений Лагранжа 2 рода.
Рассмотрим частный случай малых, т.е.
В частном случае малых, то есть при правильном движении снаряда, из (9.22) с учётом (9.34) получим
, (9.36)
где или
Введём, полагая (9.37)
Тогда (9.38)
При сделанных предположениях о движении на начальном участке траектории, т.е.. Тогда уравнение (9.38) допускает решение как линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Характерное уравнение имеет вид
При, и решение имеет вид
Полагая, что, получим, то есть
(9.39)
График зависимости при в соответствии с (9.39), (9.34) изображаем на рисунке 9.1. Он соответствует движению снаряда с
При получим,
И (9.39.1)
То есть при и снаряд неустойчив, т.е. сис-мы в начальный момент угол будет возвращать и снаряд перестанет двигаться правильно.
Коэффициент называется коэффициентом гироскопической устойчивости.
Заметим, что решение (9.39), (9.39.1) получено в предположении о малости и при. Это решение будет описывать движение снаряда, до момента, когда становится большим. При этом при этот момент в соответствии с (9.39) снаряд движется правильно.
Полные уравнения вращательного движения снаряда на начальном участке траектории (9.23),(9.31),(9.35) представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений. При этом уравнение (9.35) может быть преобразовано к уравнению с разделяющимися переменными t,, после чего зависимость t от u выражается эллиптическим интервалом. Выражаем эти уравнения:
|
|
|
, где (9.40.1)
При
P.S. При
Угловая скорость нутации, где - орт оси нутации.
Вращение снаряда вокруг оси нутации (по углу δ) называется нутацией. В теоретической механике угол δ обозначается как θ.
Угол прецессии V- двугранный угол между вертикальной плоскостью, проходящей через вектор скорости, и плоскостью нутации ξ ι. Поворот на угол прецессии осуществляется вокруг оси - оси прецессии. Плоскость прецессии- плоскость. Угол прецессии измеряется линейным углом между осью и осью нутации, угловая скорость прецессии
Вращение плоскости нутации вокруг вектора скорости центра масс называется прецессией. В теоретической механике ν обозначается ψ.
Угол ротации φ- это угол между осью нутации и экваториальной осью. Осью ротации является ось снаряда. Ротация или собственное вращение- это вращение снаряда вокруг оси симметрии. Угловая скорость ротации.
Для артиллерийского снаряда:
- прецессия- это вращение скорости действия опрокидывающей пары вокруг касательной к траектории центра масс;
- нутация- движение оси симметрии снаряда в плоскости действия опрокидывающей пары (как правило, колебательные);
- ротация- это вращение снаряда вокруг оси симметрии.
Таким образом, угловая скорость снаряда складывается из угловых скоростей прецессии, нутации и ротации.
Получить проектированием:
9.3.2. Дифференциальные уравнения вращательного движения снаряда относительно центра масс.
Рассмотрим симметричный снаряд с моментами инерции
, центр масс которого равномерно и прямолинейно движется в пространстве. Считаем, что на снаряд действует только опрокидывающий момент
Поставим задачу определения вращательного движения снаряда
, при заданных начальных условиях.
Для составления дифференциальных уравнений вращательного движения воспользуемся аппаратом уравнений Лагранжа II рода, приняв за обобщённые координаты 3 угла Эйлера:
(9.26)
Вычислим кинетическую энергию снаряда в его вращательном движении относительно центра масс. Она отличается от полной кинетической энергии на постоянную величину, равную кинетической энергии поступательного движения снаряда вместе с центром масс и, следовательно, может быть использована в левой части (9.26). В силу симметрии снаряда
(9.27)
Подставим в (9.27) формулы Эйлера (9.26), получим
, где
Привода подобные члены запишем
. (9.28)
Определим обобщённые силы. Придадим приращение δφ углу ротации φ. Тогда виртуальная работа.
Следовательно,. (9.29)
Придадим приращение δν углу приращения ν.
Следовательно, (9.30)
Придадим приращение δ(δ) углу нутации δ.
Следовательно,. (9.31)
Таким образом, обобщённые силы представляют собой алгебраические величины проекции опрокидывающего момента на оси ротации, прецессии и нутации.
Запишем дифференциальные уравнения для φ из (9.28) получим:
. (9.32)
Тогда первое уравнение Лагранжа примет вид:
, или с учётом формулы Эйлера (9.24),
(9.33)
Интегрируя это уравнение получим с учётом постоянства А:
или (9.34)
где - определяем из начальных условий.
Таким образом первый вывод заключения в постоянстве условий скорости на ось симметрии снаряда.
Запишем дифференциальное уравнение для ν. Учтём:. Тогда уравнение Лагранжа примет вид:
.
Учтём:
После интегрирования, получим.
Поделим на В и введём, (9.35)
Тогда уравнение запишется:, (9.36)
Где - определяем из начальных условий.
Запишем дифференциальное уравнение для δ. Учтём:
Уравнение Лагранжа для δ запишется:
, или после деления на В, с учётом получаем: (9.37)
Исключим из (9.37) с помощью (9.36): (9.38)
Подставив в (9.37), получим: (9.39)
Уравнения (9.39), (9.36), (9.34) представляют собой замкнутую систему дифференциальных уравнений. Уравнение (9.39) может быть преобразовано к уравнению с разделяющимися переменными t и u=cosδ, после чего зависимость t от u выражается эллиптическим интегралом I рода, то есть может быть определена с помощью теории эллиптических функций. После этого интегрирование уравнений (9.36), (9.34) не представляет затруднений.
|
|
|
9.3.3. Условие гироскопической устойчивости снаряда.
Не интегрируя уравнений вращательного движения снаряда выясним, при каких условиях малый, но отличный от нуля в начальный момент движения угол δ будет оставаться малым и в последующий период. Иначе говоря, рассмотрим вопрос о правильности полёта снаряда на начальном участке траектории. Если считать, что в точке вылета снаряда направление его оси мало отличается от направления скорости и угловая скорость оси снаряда мала, то для обеспечения правильности полёта на начальном участке траектории достаточно обеспечить гироскопическую устойчивость снаряда.
Будем считать, что снаряд в момент выхода из ствола имеет и не получает толчка при движении орудия в момент выхода и при действии пороховых газов в период последействия, т.е.. Исследуем вопрос об устойчивости движения снаряда с углом δ=0, по прямолинейной траектории. Решаем задачу, используя теоремы Лагранжа- Дирихле и Ляпунова.
Изменение угла δ при движении снаряда на начальном участке траектории подчиняется уравнению (9.39), которое перепишем в виде:
(9.40)
Из (9.40) следует, что снаряд, совершающий вращательное движение по углу δ (нутацию) в соответствии с (9.40), можно трактовать как некоторую систему материальных точек с кинетической энергией
, движущуюся по действием обобщенной силы
, (9.41)
а движение снаряда с δ > 0, как получение равновесия этой системы.
Выполним:. Из (9.30) имеем:.
При;
Следовательно, при (9.42)
Или
или
(9.43)
Рассмотрим работу силы Q при повороте снаряд, движущегося с, т значения до значения.
(9.44)
где - некоторая функция δ, так как Q зависит только от δ. Из выражения (9.44) следует, что работа силы Q не зависит от характера изменения δ, а определяется только начальным и конечным значениями δ.
|
|
|
Это означает, что обобщенная сила Q- консервативна, следовательно можно ввести в рассмотрение потенциальную энергию рассматриваемой системы, причём.
Тогда, в силу (9.43), при движении с
(9.45)
Исследуем устойчивость движения снаряда с углом δ=0. На практике это будет означать, что снаряд, вылетающий из орудия с и получающий в момент выхода достаточно малые возмущения по углу δ или в дальнейшем движении с малым углом δ. Для устойчивости движения с δ=0 достаточно по теореме Лагранжа-Дирихле, чтобы.
Из (9.45) следует, что
(9.46)
т.е. необходимое условие минимума потенциальной энергии выполняется. Рассчитаем, для этого преобразуем (9.45)
(9.47)
(9.48)
отсюда:
(9.49)
сосчитаем производные. Перепишем (9.48) в виде:
(9.50)
(9.51)
из (9.50),(9.51) следует: (9.52)
(9.53)
Из выражения (9.49) можно сделать вывод, что при
Если то в силу того, что
, а.
Следовательно условие (9.54) есть достаточное условие устойчивости равновесного положения снаряда, отвечающего углу δ=0 в соответствии с теоремой Лагранжа-Дирихле. Если не, то из (9.49) следует, что потенциальная энергия при δ=0- неустойчивое положение равновесия по теореме Ляпушева. Следовательно необходимое и достаточное условие гидроскопичесокй устойчивости движения с δ=0 имеет вид (9.55).
Здесь, где p- угловая скорость собственного вращения снаряда, постоянная в условиях составленной задачи и равная своему начальному значению в момент вылета.
;
α- характеризует гироскопические свойства снаряда;
β- характеризует опрокидывающий момент.
9.3.4. Коэффициент гироскопической устойчивости снаряда.
Неравенство (9.55) качественно характеризует гироскопическую устойчивость снаряда. Для качественной оценки гироскопической устойчивости различных снарядов и их сравнения между собой вводится “коэффициент …устойчивости”
(9.56)
Условие (9.55) эквивалентно условию
(9.57)
Для …?устойчивого снаряда меняется от 0 (при) до 1 (при), точнее при
Увеличение соответствует росту ….устойчивости снаряда, т.е способности снаряда выдерживать все более сильные возмущения движения с без нарушения устойчивости этого движения.
Запишем выражение для коэффициента …устойчивости в развернутом виде. Для этого подставим выражения для и в (9.56), получим
Перепишем в виде
(9.58)
?. Момент инерции выразим через коэффициент инерции снаряда, т.е положим
(9.59)
Если, то вся …. снаряда снаряда сосредоточена на его цилиндрической поверхности радиуса. Если, то вся масса снаряда сосредоточена на его оси. Для реальных снарядов.
,
Причем, для бронебойных снарядов, для фугасных снарядов.
Кроме того введем коэффициент веса снаряда, т.е представим
т.е (9.60)
Обычно калибр снаряда, измеряется в метрах, вес снаряда, в, а измеряется в.
Коэффициент зависит от типа снаряда так
для пуль
для бронебойных снарядов
для фугасных снарядов
С учетом (9.60), выражение (9.59) перепишется
(9.61)
Угловую скорость вращения снаряда в момент вылета можно однозначно связать с величной начальной скорости действительно, из (9.34)
и, очевидно, что т.е угловая скорость прицессии снаряда в момент вылета, много меньше угловой скорости ратации, тогда (9.62)
Если пренебречь изменением дульной скорости в период последействия и счиать начальную скорость раной дульной скорости, то можно однозначно связать.
С и длиной хода нарезов в символе η. Развёртка внутренней поверхности ствола представлена на рис.9.12.
Длиной хода нарезов называется расстояние по оси канала ствола, при перемещении на которое снаряд делает 1 оборот. Длина хода нарезов обозначается η и измеряется в калибрах. В единицах длины длина хода нарезов равна ηd. Угол γ называется углом наклона нарезов (см. рис. 9.12).
В момент вылета:, где Т- время одного полного оборота при движении со скоростью,, следовательно:
, (9.63), где.
Используя (9.62),(9.63) получим (9.64).
Подставим (9.64),(9.61) в выражение (9.58), получим:
,
или
(9.65)
9.3.5. Гироскопическая устойчивость и правильность полёта снаряда на начальном участке траектории.
При прямолинейной траектории центра масс снаряда, условие гироскопической устойчивости является единственным условием правильности его полёта. Так как начальный участок траектории снаряда можно считать прямолинейным, то для обеспечения правильности полёта снаряда на начальном участке траектории достаточно обеспечить гироскопическую устойчивость снаряда, т.е. условие (9.66)
При этом при снаряд гироскопически устойчив. Если, то он находится на нижнем пределе гироскопической устойчивости (при этом). Если, то снаряд обладает абсолютной гироскопической устойчивостью. При этом ось снаряда остаётся параллельной самой себе и своему начальному положению.
Из (9.65) следует, что может быть реализована в следующих случаях:
а) При движении снаряда в пустоте (H(y)=0).
б) При движении снаряда, центр масс которого и центр давления совпадают в воздухе (плечо опрокидывающего момента h=0).
Примечание: наличие обеспечивает вращающемуся продолговатому снаряду возможность правильно двигаться по криволинейной траектории.
Движение абсолютно гироскопически устойчивого снаряда невыгодно вне начального участка траектории, так как сопровождается большими углами отклонения δ, особенно при больших углах бросания. (рис. 9.13)
Следовательно, снаряд должен быть устойчив, но не слишком. Должен обладать запасом устойчивости, но не слишком большим, с тем, чтобы оставалась возможность обеспечения правильности его полёта на всех участках траектории, а не только на начальном.
Рассмотрим влияние различных факторов на величину коэффициента гироскопической устойчивости в соответствии с (9.65).
Коэффициент возрастает при увеличении коэффициента веса снаряда, коэффициента (аксиального) инерции μ или при уменьшении длины хода нарезов η, расстояния от центра масс до центра давления, отношения моментов инерции.
При движении снаряда вдоль траектории на начальном участке траектории H(y)-убывает, V- убывает, - убывает (т.к. обычно больше скорости звука, где - убывающая функция числа маха)-меняется медленно. Это показывает, что при выходе из канала ствола снаряд имеет минимальное значение коэффициента гироскопической устойчивости, и в дальнейшем
(9.66)
Для данного снаряда значение определяется значением начальной скорости, т.к.;
(9.67).
Таким образом теоретическое условие гироскопической устойчивости движения снаряда на начальном участке траектории при стрельбе с поверхности земли запишется: (9.68)
Однако, это условие устойчивости движения с δ=0 по отклонению к малым возмущениям, при условии, что в начальный момент снаряд имел и не получал толчков со стороны ствола и газов в период последействия. Так как такие толчки могут иметь место, т.е. возмущения движения снаряда в начальный момент времени не являются сколь угодно малыми, то для обеспечения устойчивого движения на практике необходимо, чтобы снаряд обладал некоторым запасом гироскопической устойчивости, т.е. выполнение условия (9.69)
Условие (9.69)- техническое условие гироскопической устойчивости, или условие правильности полёта снаряда на начальном участке траектории. Величина определяется опытным путём. Это наименьшее значение, при котором сохраняется удовлетворительная кучность стрельбы. При отсутствии опытных данных обычно полагают (9.70)
9.3.6. Определение длины хода нарезов из условия правильности полёта снаряда на начальном участке траектории.
Ранее отметили, что запас устойчивости снаряда, т.е. коэффициент σ возрастает при уменьшении отношения. Конструктор орудия, получая заданный снаряд, варьирует длину хода нарезов η. Конструктор снаряда может варьировать отношение. Конструктор орудия, получая заданный снаряд, варьирует длину хода нарезов η. Удовлетворение условия (9.69) возможно при η определяемых неравенством:, т.е. в силу (9.67):
, т.е.
(9.71)
Формула (9.71) определяет верхнюю границу η, т.е. максимальную длину хода нарезов или минимальную крутизну γ нарезов, необходимую для обеспечения правильного движения снаряда на начальном участке траектории.
При этом η может быть, в соответствии с (9.71), выбрано настолько малым, насколько это возможно для того, чтобы нарезка не была самотормозящейся. Такой выбор, однако, приведёт к приданию снаряду слишком большого запаса устойчивости и не позволит обеспечить правильность его движения на криволинейном участке траектории. Следовательно, должна существовать нижняя граница для η, (т.е. верхняя для) при которой возможно обеспечение правильности движения на криволинейном участке траектории. Эту границу следует получить, исследуя вопрос о вращательном движении снаряда при криволинейном движении центра масс.
9.4. Вращательное движение послушного снаряда вокруг центра масс при равномерном прямолинейном горизонтальном движении центра масс под действием одного опрокидывающего момента.
9.4.1. Задание углового положения снаряда с помощью углов Де-Спарра.
Для задания положения снаряда во вращательном движении относительно центра масс введём следующие системы координат:
- Промежуточную (совмещённую стартовую) систему координат с осями, параллельными осям главной системы координат. Считая, полагаем.
- Полускоростная (траекторная) система координат (см. рис. 8.8. при) как и ранее полагаем.
- Связанная система координат, где cx- ось симметрии снаряда, а cy,cz-главные оси инерции. При
При постоянстве угла наклона касательной к траектории θ, положение снаряда относительно полускоростной системы координат определяет положение снаряда в пространстве. Это положение может быть задано углами Де-Спарра - (см.рис. 2.12,2.13)
Угол - это угол между касательной к траектории центра масс и проекцией cx оси снаряда cx на вертикальную плоскость, проходящую через вектор скорости.
Угол - это угол между осью снаряда cx и вертикальной плоскостью, проходящей через вектор скорости
Угол - это угол между траекторной осью cy и линией пересечения экваториальной плоскости cyz и вертикальной плоскости, проходящей через вектор скорости.
Поворот на угол происходит против часовой стрелки вокруг оси.Составляющая угловой скорости снаряда, соответствующая изменению угла лежит на оси. Поворот на угол происходит по часовой стрелке вокруг оси - являющейся линией пересечения вертикальной плоскости и экваториальной плоскости cyz. Составляющая угловой скорости снаряда лежит на оси и при возрастании направлена против,
.
Поворот на угол происходит против часовой стрелки вокруг оси, так что при
Положение оси снаряда задаётся углами.
Движение оси снаряда относительно полускоростной системы координат определяется угловой скоростью.Движение снаряда относительно полускоростной системы координат определяется равной скоростью.
Движение снаряда относительно оси симметрии определяется составляющей угловой скорости. Угловая скорость снаряда относительно стартовой системы координат:
(9.72)
Матрица перехода от стартовой системы координат к связанной при помощи углов Де-Спарра при движении центра масс в плоскости стрельбы.
Переход от полускоростной системы координат к связанной достигается поворотом на углы вокруг осей
;
Спроектируем на оси связанной системы координат:
P.S. учитывать угол не надо, просто в входит
С другой стороны:, где.
Легко установить связи между проекциями на оси связанной системы координат и производными углов Де-Спарра (см.рис. 9.14)
(9.73)
Рассмотрим частный случай движения с малым углом нутации δ. В этом случае углы также малы. Угол может быть любым. В этом важное преимущество углов Де-Спарра перед углами Эйлера. При использовании углов Эйлера малость угла δ не влечёт малости углов прецессии V и ротации φ. Кроме того угол Де-Спарра отсчитывается от неподвижной вертикальной плоскости, а угол ротации φ- от подвижной плоскости действия опрокидывающей пары.
При малых δ из сферического треугольника ABD (см. рис. 9.14) легко получить соотношения:
(9.75)
При малых формулы (9.73) перепишутся:
(9.76)
9.4.2. Дифференциальные уравнения движения полученного снаряда вокруг центра масс при равномерном прямолинейном горизонтальном движении центра масс под действием одного опрокидывающего момента.
При прямолинейном горизонтальном движении центра масс. Опрокидывающий момент при малых δ представим в виде (см (9.9.)
, (9.77) где в случае горизонтального равномерного движения:
(9.78)
Уравнение движения снаряда выпишем с помощью уравнений Лагранжа II рода, приняв за обобщённые координаты.
Кинетическая энергия снаряда:
(9.79)
Отсюда с учётом (9.76), где получим
(9.80)
Сосчитаем обобщенные силы. Для этого выпишем виртуальную работу:
, т.е.,т.к..
Рассчитаем:
(9.81), где, (9.82), так как опрокидывающий момент разлагается на составляющие вдоль осей,а,
так что, проектируется только составляющая, лежащая на, а не проектируется.
Из (9.81),(9.82) следует что:
(9.84), где в силу малости.
Из (9.83) с учётом (9.72), получим:, или в силу того, что
(см. 9.74).
Рассчитаем.
. Учтём (9.78),(9.74):
(9.85)
Выпишем уравнения Лагранжа. Уравнение для запишется таким образом:
, отсюда, то есть (9.86).
Так как А=const, а в силу (9.76), то из (9.86) следует, что, и (9.87)
Последнее означает, что проекция угловой скорости снаряда на ось симметрии остаётся постоянной. Уравнение для δ1 получим аналогично.
Уравнение запишется в виде: (9.88)
Разделив (9.88) на В и вводя в рассмотрение, получим:
(9.89)
Уравнение для получим, учитывая, что в силу (9.87)
В итоге:. Или после деления на В:
(9.90).
Выпишем итоговую систему уравнений.
(9.91)
(9.92)
; (9.93)
Уравнения (9.91),(9.92) описывают движения оси снаряда. Оно не зависит от вращения снаряда вокруг своей оси. Уравнение (9.93) определяет движение снаряда вокруг своей оси, которое зависит от движения оси снаряда. При горизонтальном равномерном движении центра масс (9.91), (9.92) есть уравнения с постоянными коэффициентами, так как в силу (9.86),ибо.
Введём комплексную переменную
, (9.94)
Тогда система уравнений (9.91), (9.92) сведётся к одному эквивалентному уравнению с комплексной переменной Z. Действительно, домнажая (9.92) на i и складывая с (9.91), получим
, (9.95)
или
,
или. (9.96)
Выпишем общее решение уравнения (9.96). Характеристическое уравнение имеет вид
то есть
. (9.97)
Будем полагать, что, то есть учтём что
, где - коэффициент гироскопической устойчивости снаряда. Т гда
,
то есть.
Тогда;
. (9.98)
Введём в рассмотрение
;
.
Учтём, что имеют размерность, т.е. размерность угловой скорости, и так как
(9.99)
Тогда;
.
Общее решения уравнения (9.96) имеет вид
,
где - комплексные постоянные. Запишем их в виде
;
,
где - вещественные постоянные. Тогда
(9.100)
Воспользовавшись формулой Эйлера
,
выделим вещественную и мнимую части Z, то есть запишем (9.100) в виде (9.101)
Учтём (9.94), т. е.. Сравнивая с (9.101) получим
(9.102)
.
Отметим, что комплексная функция Z является решением дифференциального уравнения (9.96), тогда и только тогда, когда её вещественная часть является решением вещественной части (9.96), то есть уравнения (9.91), а мнимая часть является решением мнимой части (9.96),то есть уравнения (9.92).
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, которые должны быть заданы в виде
при t=0. (9.103)
Уравнения (9.102) определяют оси снаряда.Для малых можем полагать, что
; (9.104).
Из уравнений (9.102) следует, что движение оси снаряда можно рассматривать как сложное движение, состоящее из двух положенных друг на друга движений
(9.105)
где первое движение представляет собой коническое движение некоторой оси, задаваемое первыми????? соотношений (9.105) и имеющие угловую скорость
(9.106)
Второе движение представляет собой комплексное движение, положенное на первое, то есть движение относительно оси, совершающей первое коническое движение. Это второе движение совершается с угловой скоростью
(9.107)
В силу (9.99), поэтому первое движение называется медленным коническим движением, а второе – быстрым коническим движением. Изобразим решение (9.105-9.107) плоскости измерения переменных (см. рис. 9.15). При малых углах нутации изображение решения в плоскости,можно трактовать как проекцию траектории точки пересечения оси снаряда со сферой единичного радиуса, построенной в центре масс снаряда, на плоскость перпендикулярную вектору скорости центра масс.
Движение оси снаряда определяется движением точки по плоскости изображения. Его можно рассматривать как быстрое коническое движение оси снаряда вокруг некоторой оси «псевдо оси», которая совершает медленное коническое движение вокруг касательной к траектории центра масс. Ось быстрого конического движения называется псевдо осью снаряда. Тогда пересечения псевдо оси с единичной сферой проецируется в точку плоскости изображения. Движение точки по плоскости изображения (см. рис. 9.16) проходит по окружности радиуса с угловой скоростью и начальной фазой в соответствии с (9.106). Ось снаряда совершает быстрое коническое движение вокруг псевдо оси. При этом точка движется по окружности радиуса с центром в точке с угловой скоростью и начальной фазой. Результатом сложения движений является?????? движение оси при котором точка вращается по окружности относительно мгновенного центра совершающего переносное круговое движение по окружности с центром в точке. Траектория точки в суммарном движении будет эпициклоида, построенная на окружности радиусом
.
Вид эпициклоиды определяется постоянными и не зависит от. При этом всегда.Соотношения и может быть любым.
Отметим что в силу (9.74),(9.102)
, (9.108)
То есть ось снаряда колеблется в плоскости нутации вокруг среднего значения (см. рис. 9.17) с периодом
В соответствии с (9.108)
,
где,
.
При этом
, т.е.;
, т.е..
9.5 Вращательное движение послушного снаряда под действием одного опрокидывающего момента при прямолинейном горизонтальном, но не равномерном движении его центра масс.
При горизонтальном движении центра масс скорость центра масс убывает. При этом коэффициент
,
также убывает, так как функция при сверхзвуковых скоростях возрастает быстрее, чем убывает. Коэффициент гироскопической устойчивости
,
При движении снаряда вдоль траектории возрастает, так что. Дифференциальное уравнение вращательного движения снаряда (9.91)-(9.93) справедливы и в этом случае. Справедливым остаётся и уравнение (9.96) для переменной
. (9.109)
Это уравнение, в отличие от (9.96) уже не является уравнениями с постоянными коэффициентами, так как, несмотря на постоянную, в силу, -меняется. Упростим его с помощью подстановки
, (9.110)
где - комплексная функция времени.
При этом
(9.111)
. (9.112)
Подставим (9.110 - 9.112) в (9.109) и сократим на,получим
, или
, т.е.,
то есть, с учётом,
. (9.113)
Решение этого уравнения будет иметь вид
, (9.114)
где - вещественные функции времени. При этом одну из них можно определить из некоторых дополнительных условий.
P.S
Учтём, что
;
. (9.116)
Подставим (9.114), (9.116) в уравнение (9.113), поделив на,получим
. (9.117)
Выберем функцию так, чтобы
, (9.118)
то есть
,
или
, (9.119)
то есть
, (9.120)
в силу постоянства. Учтем, что в силу (9.119) и постоянства
(9.121)
Подставим (9.118) в (9.117), получим, что для из (9.120), функция удовлетворяет уравнению
, (9.122)
то есть
. (9.123)
Решение уравнения (9.123) будем строить приблизительно методом малого параметра. Воспользуемся тем что достаточно велика, то есть параметр - мал. Представим в виде ряда по степеням малого параметра, то есть
, (9.124)
где функции,,,…. зависят от времени и подлежат определению. Их число задаёт точность определения, в зависимости от числа определённых в разложении (9.124). Тогда
, (9.125)
. (9.126)
Подставим ряды (9.124) – (9.126) в уравнение (9.123) сохранив в разложении
вторые степени
(9.124)
Так как (9.124) должно выполняться при любых и??????? функций линейно не зависимая, то из (9.124) следует равенство нулю коэффициентов при степенях.
При:
; (9.125)
При:
, (9.126)
и так далее. Из (9.125) получим
,
или
, (9.127)
откуда
,
то есть, т.к. достаточно определить одно ясное решение,
. (9.128)
Произвольную постоянную при интегрировании (9.127) выберем так, чтобы. Это не уменьшает???????,так как целого рассмотрения является построение частного решения уравнения (9.113).
Подставляя в (9.126), получим уравнение для и т.д. для ….,
если это будет необходимо.
Будем полагать, что достаточно велико и будем строить приблизительное решение уравнения (9.109)и, следовательно (9.113). Для этого в разложении по малому параметру (9.124) ограничимся первым членом, полагая
. (9.129)
С учётом (9.120) это позволит построить фундаментальную систему решений уравнения (9.113)
,,
или
,. (9.130)
Подставив (9.130) в (9.110) получим фундаментальную систему решений уравнения (9.109)
,
что позволяет выписать общее решение (9.109) в виде
,
или
(9.131)
Как и ранее введём в рассмотрение
,
, (9.132)
.
Комплексные производные постоянные и представим в показательной форме
;,
где - вещественные постоянные и подставим в (9.131). Обозначим
;, (9.133)
тогда решение (9.131) запишется в виде
. (9.134)
Учитывая, что и выделяя из вещественную и мнимую части, как и в разделе 9.4 вещественные решения, задающие углы
Де-Спарра
; (9.135)
. (9.136)
Вычисляя при малых, получим
. (9.137)
Здесь -меняются при движении вдоль траектории вследствие изменения
;;;;.
Постоянная;; определяются из начальных условий, которые имеют следующий вид:
при
;;;. (9.138)
Учтём что
;;
где - вещественные постоянные.
То есть
;. (9.139)
Так как и растёт при движении по траектории, то и убывают обратно пропорционально.
Движение оси снаряда, как и ранее можно представить в виде суперпозиции двух движений
,
(9.140)
,
где - первые слагаемые (9.135), (9.136), определяют медленное коническое движение псевдо оси снаряда вокруг касательной к траектории, а вторые слагаемые (9135), (9.136) задают быстрое коническое движение снаряда вокруг псевдо оси. С течением времени и убывают, и - возрастает, то есть убывает (см.(9.137)) и период колебаний, - убывает. Снаряд становится всё более и более послушным, коническое движение затухает. Изменение угла представлено на рис. 9.18. Колебания совершаются вокруг убывающего среднего значения.
9.6 Вращательное движение полученного снаряда под действием опрокидывающего момента при криволинейном неравномерном движении его центра масс.
9.6.1 Уравнение движения снаряда.
Рассмотрим движение послушного снаряда на криволинейном участке траектории. Пусть угол наклона касательной к траектории отличен от нуля и меняется, так что везде, кроме вершины к траектории. Отметим,что угол летит в вертикальной плоскости, проходящий через вектор скорости (см. рис. 9.14), так что угловая скорость лежит на оси, т.е там же где и см. рис. 9.19). При этом угловая скорость снаряда
, (9.141)
где положение оси снаряда задается углами, а ее движения составляющими угловой скорости. Составляющая характеризует вращение снаряда вокруг оси.
Рассмотрим опрокидывающий момент, который при малых углах берется в виде
,
где. (9.142)
При движении вдоль траектории меняются. При этом достигает минимума в вершине траектории - поле вершины, а функция сопротивления меняется сравнительно мало. Это означает, что коэффициент на восходящей ветви траектории убывает и продолжает убывать на участке траектории между вершиной и точкой минимума скорости до некоторой точки, предшествующей точке, а затем начинает возрастать.
Коэффициент гироскопической устойчивости
(9.143)
меняется соответственно наоборот - возрастает, достигая максимума в точке с и далее убывает. Затем уравнения вращательного движения снаряда в обобщенных координатах. Отметим, что - известная функция времени, определяемая из ОЗВБ, так что условие должно рассматриваться как?????????????? связь, положенное на движение снаряда. Выпишем составляющие вектора. Они запишутся аналогично (9.76) для малых, но роль будет играть, т.е.
;
; (9.144)
.
Выражая кинетическую энергию снаряда
,
получим
. (9.145)
Сравнивая (9.145) с (9.81) видим, что выражение изменилось только из-за замены на. Поэтому и левые части уравнений Лагранжа рассматриваемого случая получается из таковых в (9.91)- (9.93) с помощью той же замены. Обобщенные силы не изменяются, так как не изменить обобщенные координаты и??????? сил, приложенных к снаряду. В итоге поучим уравнения
; (9.147)
; (9.147)
. (9.148)
Отметим, что (9.146) как и (9.93) есть первый интеграл уравнения Лагранжа для. При этом вывод о постоянстве сохраниться и на криволинейном участке траектории, т.е.
. (9.149)
Перепишем (9.147), (9.148) в виде неоднородных линейных уравнений и добавим к ним уравнения (7.9) для, получим
; (9.150)
; (9.151)
. (9.152)
Вводя в рассмотрения комплексную переменную
,
как и ранее из (9.150), (9.151) получим уравнение
. (9.153)
Левая часть этого уравнения совпадает с (9.109), однако в отличие от случая, рассмотренного в 9.5, уравнения (9.153) неоднородно. Представим его общее решение в виде
, (9.154)
где – общее решение однородного уравнения (9.109),
а – частное решение неоднородного уравнения(9.153).
Из (9.134) следует что
,
где вычисляются, как и ранее по (9.135), (9.136)
; (9.155)
, (9.156)
;;;.
(9.157)
Решение неоднородного уравнения будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, т.е.
(9.158)
подставим (9.158) в уравнение (9.153), получим, учитывая
(9.159)
Собираем члены с одинаковыми степенями
(9.160)
Равенство (9.156) тождественно выполняется при любых, т.е. должны равняться нулю коэффициенты при степенях
; (9.161)
; (9.162)
; (9.163)
Из (9.161) получим
, (9.164)
т.е. и
; (9.165)
.
Подставим (9.164), (9.165) в (9.162), (9.163). Из (9.162) получим
,
где. (9.166)
Отсюда найдем для подстановки в (9.163)
,
или
. (9.167)
Подставим (9.167) в (9.163) и выразим с учетом,, тогда
(9.168)
В итоге с точностью до можем выразить в виде
,
или
. (9.163)
Учитывая что - комплексная функция
,
получим
; (9.170)
. (9.171)
Учтём (9.152), тогда
, (9.172)
или т.к., то, то есть
. (9.173)
Из (9.173) следует, что на всей траектории (т.к.). Кроме того, мал при и имеет порядок малости.
Рассмотрим. Представим его в виде
, (9.174)
где
. (9.175)
Расчёты показывают, что коэффициент при движении снаряда вдоль траектории меняется вдоль ограниченных пределах, так что для малых величина есть малая второго порядка по отношению к. Кроме того, учтём, что в силу (9.152)
, (9.176)
т.е. (9.177)
Подставив (9.177) в (9.175), получим, с учётом
,
(9.178)
или, подставив (9.176) в (9.178)
. (9.179)
На восходящей части траектории,,, т.е.. На нисходящей части траектории, и и меняют знак при проходе через точку и. То есть может стать меньше нуля.
Собирая решения для и, подставляя их в (9.154) получим, после выделения вещественной и мнимой части
; (9.180)
, (9.181)
где - первые, а - вторые слагаемые (9.155).
Это позволяет утверждать, что сложное движение оси снаряда при движении центра масс по криволинейной траектории с переменной скоростью, может быть представлено как движение вокруг «динамической оси», составляющий с касательной угол
, (9.182)
т.е. положение, которое задаётся углами.
При этом точка - проекция точки пересечения касательной с единственной сферой, построенной в центре масс, на плоскость изображения движется по эпициклоиде с центром не в точке с координатами,, а по эпициклоиде с центром в точке с координатами,. Ось и есть динамическая ось снаряда (см. рис. 9.21). При этом псевдо ось снаряда совершает медленное коническое движение вокруг динамической оси,двигаясь с угловой скоростью по конической поверхности с основанием имеющим радиус и центр в точке. Ось снаряда совершает быстрое коническое движение вокруг псевдо оси, двигаясь с угловой скоростью по конической поверхности с основанием, имеющим радиус и центр в точке.
Величины убывают на участках траектории от начала до точки, т.е.. Величина на этом участке возрастает. То есть происходит затухание медленного конического движения и уменьшение амплитуды, и рост угловой скорости быстрого конического движения.
После точки начинается обратный процесс, т.к. вследствие роста начинает убывать и - растут, а - убывает.
То есть затухание медленного и быстрого конического движения имею место на части траектории до точки, затем, на нисходящей ветви поля точки, интенсивность этих движений нарастает. Величина остаётся положительной на всей траектории, т.е. динамическая ось снаряда с правой закруткой (если смотреть с казённой части) всегда летит с права от плоскости стрельбы. Величина на выходящей части траектории, т.е., динамическая ось снаряда обязательно лежит выше касательной (рис. 9.22). На нисходящей части траектории может стать и отрицательным, и динамическая ось снаряда окажется ниже касательной. На восходящей части траектории - возрастает (- убывает, - возрастает, - убывает). На участке траектории между точкой и точкой падения, - убывает (- убывает, - убывает, - возрастает).
При движении вверх по траектории эпициклоида, по которой движется точка, уменьшает свои характерные размеры и сдвигается вправо в плоскость изображения (рис.9.22) и вверх.
В силу малости можно полагать, что между динамической осью и касательной (см.(9.128)) равен
. (9.183)
Рассмотрим как меняется положение динамической оси снаряда при движении его вдоль траектории, т.е выясним где снаряд наименее послушен и динамическая ось дальше всего состоит от касательной к траектории.
На начальном прямолинейном участке траектории можно полагать, что динамическая ось совпадает с касательной. Анализируя, положение динамической оси на криволинейном участке траектории будем полагать, что
и анализировать изменение.
В силу (9.172)
, (9.184)
где
.
Пологая приближенно и свяжем с длиной хода нарезов
,
тогда
, (9.185)
где
,
(9.186)
где – коэффициент инерции, а - коэффициент веса снаряда.
Учтем
. (9.187)
Подставим (9.185) - (9.178) в (9.184), получим
,
или
,
или
(9.188)
Отметим, что коэффициент
(9.189)
постоянен для данного снаряда и орудия и не изменяется при движении по траектории. Для заданного снаряда в условиях стрельбы из заданного орудия (- задано) величина угла определяется множителем
. (9.190)
На восходящей ветви траектории –убывает, -растет, -убывает, -убывает, - меняется медленно. При этом растет. На нисходящей части траектории за точкой – уменьшается. Это означает, что имеет наибольшее значение на участке траектории между вершиной и точкой. На этом участке траектории снаряд наименее послушен. Наихудшая точка располагается вблизи точки максимальной кривизны траектории.
Выразим в характерных точках.
В точке бросания;
(9.191)
В вершине траектории,,
. (9.192)
В точке падения,,
. (9.193)
Так как, то не смотря на то что всегда реализуется. Здесь угол, т.е. – наибольший динамический угол из трех представленных. Он близок к максимальному.
На дальних траекториях, - малы, и условия работы снаряда у вершины траектории наиболее трудны.
Величина может быть уменьшена за счет уменьшения множителя при выборе конструктивных параметров. Для снижения необходимо (см.(9.183)) уменьшать и увеличивать. При этом снаряд становиться более послушным.
Проведенный анализ проделан при допущении о малости угла, но действие на снаряд только опрокидывающего момента. Присутствие левого тушащего момента приводит к уменьшению, что может улучшить правильность полета.
Угол для послушного снаряда есть величина второго порядка малости, причем уменьшается при движении вдоль траектории за счет уменьшения (см.(9.179)) и переходя к.
9.6.3 гироскопическая устойчивость и правильность полета снаряда на криволинейном участке траектории.
Гироскопической устойчивостью называется способность вращающегося снаряда сопротивляться внешним силам, стремящимся изменить положение его оси.
Величина, количественно характеризующая гироскопическую устойчивость снаряда – коэффициент гироскопической устойчивости, введенный в 9.3.4.
,.
Условие гироскопической устойчивости имеет вид
. (9.194)
Ранее получили выражение для
, (9.195)
Из которого следует, что наименьшее значение достигается в точке вылета
. (9.196)
Таким образом, теоретическое условие гироскопической устойчивости на начальном участке полета имеет вид
. (9.197)
Условие правильности полета на начальном участке полета имеет вид
. (9.198)
Правильностью полета снаряда называется способность артиллерийского снаряда следить за касательной к траектории центра масс, т.е. способность снаряда малым углом отклонения оси снаряда от касательной к траектории.
Условие правильности полета на начальном участке траектории (9.198) эквивалентно условию (9.199) для длины хода нарезов
, (9.199)
где
. (9.200)
При, получаем
. (9.201)
Это наибольшее значение длины хода нарезов, при котором обеспечивается правильность полета на начальном участке траектории.
Условие правильности полета на всей траектории, включая ее криволинейную часть, имеет вид
, (9.202)
где обычно полагают.
При правильном движении снаряда, т.е. при малых можно полагать что
, (9.203)
где
,
(9.204)
.
Абсолютная правильность полета, т.е. движение с, возможно только в случае, при движении по горизонтальной траектории (,,), так как в этом случае,,.
В случае реального движения. При этом наибольший возможный угол можно изменить следующим образом. Угол реализуется когда динамическая ось, псевдо ось и ось снаряда оказываются в одной плоскости (см. рис. 9.23). При этом точки в плоскости изображения лежат на одной прямой.
В виду того, что расстояние между точками в плоскости изображения можно считать равными дугам больших кругов единичной сферы, из условия
, (9.205)
получим, то есть
, (9.206)
где
. (9.207)
Из (9.206) следует, что убывает с уменьшением и ростом, а и растут вдоль траектории и принимают наибольшие значения в точке за вершиной. При этом в формуле (9.206) первое слагаемое растет вдоль траектории, а второе убывает при движении от точки до точки. Рассмотрим в точке вылета и в вершине траектории.
В точке
, (9.208)
где – наименьшее значение на траектории. Величина может быть обусловлена в эксперименте стрельбой по????????????. При этом устанавливается, которое не должно быть больше допустимого значения
. (9.209)
В вершине значения близко к максимальному и равно (в силу (9.192))
. (9.210)
При этом
. (9.211)
Учтем что при известном из (9.206) следует, что
,
т.е.
,
или
, (9.212)
Подставив (9.212) в (9.211), получим
. (9.213)
В вершине траектории должно выполняться условие правильности полета
, (9.214)
т.е.
,
или
,
где
. (9.215)
Условие (9.215) является достаточным условием правильности полета в вершине траектории. Учтем, что и в силу (9.210), можно уменьшить за счет уменьшения или за счет роста
Отметим, что растет с уменьшением и, т.е.. Это означает что условия полета снаряда в близи вершины траектории при стрельбе на большие дальности особенно трудны.
Варьирование при проектировании затруднено, так как это основные проектные параметры артиллерийской системы. Предпочтительнее варьировать (за счет изменения длины головной части или баллистических наконечников).
Для уменьшения необходимо увеличивать и. При этом, однако, в силу (9.196) уменьшается, т.е. ухудшаются условия полета на начальном участке.
Таким образом, с ростом и улучшаются условия полета в близи вершины траектории, но ухудшаются условия полета на начальном участке. Поэтому выбор и должен делаться на основании решения задачи оптимального проектирования.
Вышеизложенное позволяет сделать следующие выводы.
Для обеспечения правильности полета снаряда по всей траектории необходимо выполнить два условия:
a) Условие правильности полета (гироскопической устойчивости) на начальном участке
, (9.216)
И условие правильности полета у вершины
, (9.217)
где вычисляется по (9.215), при,
Обычно.
Эти условия противоречивы и их выполнение требует существенных усилий при проектировании. С точки зрения правильности полета на начальном участке следует увеличивать, однако с точки зрения правильности полета в близи вершины следует уменьшить, так как при этом в силу (9.215) растет за счет роста первого слагаемого.
Наиболее удобно варьировать и. при этом возможны три ситуации.
- Одно из условий (9.216), (9.217) не соблюдено, а второе выполняется с запасом. При этом, есть возможность выполнить нарушенное условие, варьируя оба параметра и.
- выполнены условия
,
,
т.е. надо уменьшить не меняя (не увеличивая). Для этого, в силу (9.210), (9.196) надо увеличить не меняя. Т.е надо увеличить обратно пропорционально.
Например, пусть заданны,. Увеличим до. Определим из условия
,
тогда
,
И
,
возросло пропорционально.
Величина при этом почти не измениться, так как и не меняются, а второе слагаемое в (9.215) мало в силу малости.
- Выполнены условия
,
,
т.е. надо увеличить не увеличивая. Для этого надо уменьшить не меняя. Для этого следует уменьшить и увеличить так, что бы
=.
При этом, может уменьшиться, так как в первом слагаемом (9.215) растет.
Итак наиболее эффективным способом обеспечения правильности полета во всех точках траектории на этапе проектирования является одновременное увеличение расстояния (т.е. изменение снаряда) и уменьшение - длины хода нарезов (т.е. изменение ствола). Характер этого увеличения определяется условиями задачи.
10. Движение центра масс послушного снаряда под действием нормальной составляющей силы сопротивления воздуха
10.1. Общая характеристика
Рассматривая основную задачу внешней баллистики полагали, что при рассмотрении движения центра масс снаряда можно учитывать только действие силы лобового сопротивления, направленной против вектора скорости, а нормальной составляющей, лежащей в плоскости нутации, и силой Магнуса, перпендикулярной плоскости нутации, можно пренебречь. При этом движение центра масс снаряда при малых углах нутации оказалось не зависящим от вращательного движения вокруг центра масс и …. Центра масс оказалась плоской кривой, лежащей в плоскости стрельбы. При этом для вращательного движения послужного снаряда центра масс получили, решение, описанное в разделе 9, в соответствии с которым ось быстро вращающегося снаряда совершает близкое к периодическому “коническое” вращательное движение вокруг “динамической” оси снарядов. Последняя, для снаряда вращающегося вокруг оси симметрии по левой стрелке, если смотреть со стороны его дня, совершает периодическое движение, оставаясь смещенной вправо от плоскости стрельбы и немного вверх от касательной к траектории.
Полагая, что угол рыскания скоростной системы координат остается достаточно малым, можно дополнительно учесть действие нормальной составляющей силы, и ранние пренебрегая силой Магнуса.
Стрельбы, как и раньше, будет соответствовать основной задаче внешней баллистики, а для движения по оси (бокового движения), можно получить уравнения, коэффициенты которых определятся из решений, полученной дл основной задачи внешней баллистики и вращательного движения …. снаряда.
Рассмотрим движение динамической оси снаряда, … снаряда собственно оси симметрии снаряда вокруг центра масс (см.рис. 10.1). В изображающей плоскости, касающейся единичной сферы в очке, являющейся концом орта, сонаправленного вектору скорости центр масс, этим осям соответствуют точки соответственно. Отрезки и на изображающей плоскости при малых углах мутации равно соответственно динамическому углу и собственно углу мутации. Нормальная сила лежит в плоскости мутации и проектируется на изображающую плоскость на прямую. При этом, можно считать состоящей из двух составляющих: - лежащей в плоскости динамической оси снаряда (т.е параллельной на рис. 10.1) и обусловленной наличием периодического динамического угла, - лежащей в плоскости, проходящей через динамическую ось и ось снаряда (т.е. параллельной на рис 10.1). В связи с тем, что ось снаряды совершает вокруг динамической оси быстрое и медленной коническое движение, …. и направление силы будут периодически меняться, причем ее линия действия будет вращаться вокруг точки на рис. 10.1. В то же время сила будет меняться периодически, оставаясь направленной вправо от вертикальной плоскости, проведенной через центр вектор скорости.
При этом, так как угол, можно отождествить и, а силу с ее составляющей, лежащей в горизонтальной плоскости, считая ее горизонтальной углу. При этом в плоскости центр масс снаряда будет двигаться под действием двух сил – силы и горизонтальной составляющей силы лобового сопротивления (см.рис. 10.2). При этом для силы естественно сохранить выражение (8.6.6) для, заменяя в нем на.
(10.1.1)
Действие силы приведем к появлению бокового движения снаряда в направлении оси, называемому деривацией. При этом траектория центра масс, которая в основной задаче внешней баллистики была направлена только в плоскости стрельбы, искривится в перпендикулярном направлении и превратится в пространственную кривую. Действие периодической силы приведет к тому, что траектория центра масс станет винтообразной кривой (геликоидой) вьющейся около вышеописанной пространственной кривой (см.рис. 10.3). Радиус винтообразного движения центра масс обычно не превышает нескольких дециметров. Поэтому им, как правило, пренебрегают. В то же время боковое движение центра масс (деривация) оказывается существенным и его необходимо рассчитывать.
10.2 Деривация
Рассмотрим уравнения бокового движения центра масс снаряда, сохраняя обозначения, введенные при рассмотрении основной задачи внешней баллистики, и полагая справедливыми допущения нужное 10.1.
Уравнение движения центра масс снаряда
(10.2.1)
Спроектируем на ось (см.рис. 10.2). После деления на массу, с учетом обозначения ускорений;, после запишем, получим
, (10.2.2)
где,,
или, (10.2.3)
В основной заделе внешней баллистики имели
(10.2.4)
Кроме того (см.рис. 10.2)
(10.2.5)
Подставим (10.2.4) и (10.2.5) в (10.2.) и обозначим (10.2.6)
Получим,
или. (10.2.7)
Поделив (10.2.7) на, получим
,
Где в левой части стоит производная, то есть
. (10.2.8)
Будем полагать, что в момент выхода снаряда из …. ствола,,, тогда
, или
. (10.2.9)
Интегрируя (10.2.9) еще раз по, получим выражение для значения деривации в текущей момент, так что. При этом
, (10.2.11)
где,. (10.2.12)
В (10.2.12) - постоянна вдоль траектории, если учитывать только действия опрокидывающего момента. Если учесть действие еще и осевого тушащего момента (см. 8.6.18)
, (10.2.13)
где,
то действие осевого мутации момента приведет к …. затуханию угловой скорости. Действительно, рассмотрим динамическое уравнение Эйлера в проекции на ось симметрии снаряда.
,
где, то есть
, или
, откуда
(10.2.15)
То есть не остается постоянным вдоль траектории, а …. Убывает. Подобный результат можно получить и из уравнений …… для углов Де’Спарра. При этом, однако, изменится и решение для узлов и. Поэтому будем приблизительно учитывать влияние изменения вдоль траектории, используя в ранее полученных соотношениях вместо величину (10.2.16)
При этом, вынося из под знака интеграла значение
,
получим, (10.2.17)
примем на основании опытных данных можно полагать
(10.2.18)
Используя (10.2.17) в выражении (10.2.12) для получим, раскрывая и
(10.2.19)
Подставим (10.2.19) в (10.2.11) и проведем сокращения с учетом, того что, получим:
,
где в силу (7.9), то есть, (10.2.20)
на основании (10.2.20) из уравнения (10.2.8) можно после дополнительных упрощений в интеграле (10.2.10) получить приблизительную формулу В.Н….. для выполнения деривации в точке падения снаряда (см. Е.В.Чурбанов, стр. 89 91).
Для ориентированных расчетов деривации можно использовать эмпирические формулы, например:
, где (10.2.21)
При решении основной задачи внешней баллистики в процессе проетирования нетрудно рассчитать боковое движение снаряда, то есть и деривацию, непосредственно интегрируя уравнение (10.2.2) совместно в уравнениями основной задачи внешней баллистики. Для этого к уравнениям основной задачи внешней баллистики достаточно добавить два уравнения первого порядка
(10.2.22-10.2.23)
С замыкающими соотношениями (10.2.3) и (10.2.20) с начальными условиями
(10.2.24)
8. Динамические уравнения движения снаряда в атмосфере
8.1 Уравнения динамики тела постоянной массы
Уравнения движения снаряда в атмосфере получим из известны из теорем динамики – теоремы о движении центра масс и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс. При этом будем полагать, что движение центра масс рассматривается в инерциальной системе отсчета. Иначе говоря, полагаем, что система отсчета связанная с землей может считаться инерциальной, так как (см. выше) переносная и кориолисова силы слабо влияют на движение снаряда. Точнее будем пренебрегать кориолисовой силой инерции, а переносную силы инерции, как обычно, складывать с силой земного притяжения при определении силы тяжести.
В этих условиях уравнения движения центра масс снаряда постоянной массы запишется:
(8.1)
где,
- главный вектор аэродинамических сил;
- сила тяжести.
Уравнение изменения кинетического момента относительно центра масс запишется в виде
, (8.2)
Где - главный момент аэродинамических сил относительно центра масс.
Уравнение записаны в предположении, что моментами неаэродинамической природы можно пренебречь. В противном случае в (8.2) включает в себя все моменты, действующие на снаряд в полете.
Скалярные дифференциальные уравнения получатся из (8.1), (8.2) после проектирования на оси выбранной системы координат. При этом, однако, возникают некоторые трудности, связанные с тем, что движение центра масс необходимо рассматривать в системе координат неизменно связанной с землей, в то время как аэродинамические силы в (8.1) удобно представлять в виде составляющих по осям координат, связанным со скоростью набегающего потока, а уравнение (8.2) целесообразно проектировать на оси связанной со снарядом системы координат. Если в качестве связанных со снарядом осей координат выбрать главные центральные оси инерции,, то уравнение (8.2) после проектирования приводит к известным динамическим уравнениям Эйлера
(8.3)
8.2 Применение матриц для описания преобразования координат
Матрицей перехода от системы координат к системе координат (см. рис. 8.1) называется матрица направляющих … осей системы координат относительно осей системы координат.
, (8.4)
где;
каждый элемент матрицы есть скалярное произведение ортов соответствующих осей координат
И т.п., то есть… представляет собой проекцию орта на ось, и что тоже, проекцию на ось.
Таким образом в первой строке матрицы стоят проекции орта на оси; во второй строке – проекции на оси; в третей строке – проекции на оси.
(8.5)
Аналогично в столбцах стоят коэффициенты разложений ортов по осям.
Элементы матрицы обладают следующими свойствами:
1. сумма квадратов элементов оной строки или одного столбца равна единице, так как это квадрат длины единичного вектора;
2. сумма произведений элементов двух строк или двух столбцов равна нулю, так как это скалярное произведение двух перпендикулярных ортов одной и той же системы координат.
Пусть один и тот же вектор имеет проекции на оси первой системы координат и на оси второй системы координат.
Тогда (8.6)
Домножая (8.6) последовательно на, получим формулу перехода
. (8.7)
Домножая (8. 6) на получим
, (8.8)
где - матрица перехода от системы координат к системе координат, - транспортированная матрица
, (8.9)
Если есть при системы координат,,, то переход от к может быть осуществлен в последовательности. При этом
. (8.10)
Аналогично
. (8.11)
Если нужно перейти от одной систему координат к другой, полученной из первой в результате нескольких поворотов относительно заданных осей, то достаточно составить матрицы, соответствующие повороту на один угол, и перемножить их в соответствии с заданным порядком поворотов.
Рассмотрим составление матрицы трех поворотов соответствующих переходу от системы координат к системе в следующем порядке.
Первый переход от к происходит поворотом на угол относительно оси (см. рис. 2а).
Второй переход от к совершается поворотом на угол вокруг оси.
Третий переход от к совершается поворотом на угол вокруг оси.
При таком преобразовании
, (8.12)
;
;
. (8.13)
Это матрица перехода с помощью поворотов вокруг осей на углы.
. (8.14)
Это матрица перехода с помощью поворотов вокруг осей на углы.
8.3 Системы координат
При составлении уравнений движения объекта приходится иметь дело с разными системами координат. Они вводятся для того, чтобы, во-первых, зафиксировать некоторое начало отсчета по отношению к которому определяются линейные и угловые координаты;
Во-вторых, представить наиболее удачным образом составляющие сил, моментов или параметров движения;
В-третьих, определить положение некоторых фиксированных направлений, связанных с твердым телом.
a) Для опреде
