1. Сложение (вычитание) комплексных чисел.
,
т. е. при сложении (вычитании) комплексных чисел их действительные и мнимые части складываются (вычитаются).
2. Умножение комплексных чисел.
Комплексные числа перемножаются как двучленны; при этом необходимо учитывать, что
,
,
.
Умножим два комплексных числа, имеем
.
Получим произведение комплексных чисел в тригонометрическом виде
.
Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
В частном случае, при умножении двух комплексно-сопряженных чисел получается квадрат их модуля.
.
Следствие. Возведение в степень комплексного числа.
Если , то
,
т. е. при возведении комплексного числа в n -ю степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень.
Например .
3. Деление комплексных чисел.
Запишем в координатном виде .
Умножим числитель и знаменатель на число комплексно-сопряженное знаменателю, получим
.
Более удобный вид частного комплексных чисел получим при использовании тригонометрической записи.
|
|
.
Следовательно, при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
4. Извлечение корня из комплексного числа.
Пусть , а
. Равенство
возведем в n -ю степень, получим
Отсюда получим для модулей чисел равенство
или
.
Аргументы равных чисел могут отличаться на число, кратное 2p, поэтому для аргументов чисел z и имеем
,
.
Следовательно,
.
Корень n -ой степени из действительного числа А, отличного от нуля, имеет n значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме: если , то
, если
, то
.
Пример 7.19. Найти корень кубический из комплексной единицы . Представим эту единицу в тригонометрическом виде
. Получаем
=
.
При имеем корень
.
При корень
.
При корень
.
![]() |
Таким образом, корень кубический из единицы ![]() ![]() ![]() ![]() |
Пример 7.20. Найти .
Получаем .
;
;
;
;
Пример 7.21. Решить уравнение .
Находим .