Величина называется комплексной переменной, если x, y – действительные переменные, а .
Комплексная переменная w называется функцией комплексной переменной z с областью определения D и множеством значений Е, если для любого z, принадлежащего множеству D соответствует единственное значение w, принадлежащее множеству Е.
Записывают или .
Функция или называется показательной функцией комплексной переменной.
По определению показательной функции с комплексным показателем
.
Например,
,
, ,
.
Показательная функция комплексного переменного обладает всеми теми же свойствами, что и показательная функция действительного переменного.
Покажем, например, что при умножении показательных функций их показатели складываются. Найдем
.
.
Следовательно .
Аналогично можно показать следующее:
1) ; 2) , где m Î Z; 3) .
Комплексная величина
,
где - действительные функции действительной переменной х, называется комплексной функцией действительной переменной.
Если существуют производные , то выражение
|
|
называется производной комплексной функции действительной переменной.
Найдем производную показательной функции , где a и b – действительные числа. Эту функцию можно записать в виде
,
т. е. она является комплексной функцией действительной переменной.
Найдем производную этой функции
.
Следовательно,
.