Пусть . Тогда и - нулевые ф.п.р.ч.
Отношение ≈ стабильно относительно операции сложения (?)
Поскольку сумма нулевых последовательностей является нулевой, имеем- нулевая ф.п.р.ч., а значит .
Отношение ≈ стабильно относительно операции умножения (?)
Последовательности фундаментальные, следовательно, ограниченные, предположим, числами соответственно. Зная, что и нулевые ф.п.р.ч. имеем
. Выберем . Тогда . Принимая во внимание выше перечисленное, оценим
. Последнее влечет, что является нулевой, а, значит, .
Отношение ≈ стабильно относительно операции взятия противоположного (?)
что и требовалось доказать