(ассоциативные алгебры над полем действительных чисел размерности 2).
Опишем все ассоциативные алгебры над полем размерности 2.
Нетрудно устанавливается, что множества и
образуют ассоциативные алгебры, которые договоримся называть алгебрам двойных чисел и дуальных чисел соответственно.
Теорема. Любая коммутативная ассоциативная алгебра с единицей над полем действительных чисел размерности 2 изоморфна одной из из алгебр
,
,
.
Доказательство
Пусть , где
- коммутативная ассоциативная алгебра с единицей
. Рассмотрим
. Нетрудно устанавливается, что
изоморфно полю
. Тогда, с точностью до изоморфизма, можно утверждать, что
(
подполе поля А). Последнее означает, что в
найдется элемент
такой, что система
образует базис алгебры
над полем
.
для некоторых
.
. Возможны случаи:
1. . Существует положительное действительное число
такое, что
Тогда - система порождающих в
. Покажем, что
- базис в
. Предположим, что
. Таким образом
.
2. . Аналогично устанавливается, что
- базис в
. Следовательно,
.
|
|
3. . Существует положительное действительное число
такое, что
Тогда - система порождающих в
. Аналогично устанавливается, что
- базис в
. Следовательно,
.
Замечание. Наличие единицы позволяет включить
в
, а ассоциативность и коммутативность позволяют выполнять действия, указанные выше.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры ,
не являются полями.
Доказательство
Предположим, что элемент обратим. Тогда существует элемент
такой, что
. Последнее противоречит линейной независимости элементов
. Следовательно, предположение об обратимости элемента
оказывается ложным, а, значит,
не является полем.
Аналогично устанавливается необратимость элемента . Тогда
также не является полем.
что и требовалось доказать.
Теорема. Алгебры ,
существуют.
Доказательство
. Тогда
,
. Таким
образом .
. Тогда
,
. Таким
образом .
что и требовалось доказать.
Замечание. Алгебры ,
и
являются подалгебрами алгебры
.