Равномерная сходимость функц-х рядов

Функц-ные ряды, область сходимости функц-ного ряда. Понятие равномерной сходимости. Мажорируемые ряды. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Интегрирование и диф-ние функц-х рядов.

.

Такие ряды наз-т функц-ми. Предполагается, что определены и непрерывны. Для одних знач-й ряд может сходится, для других – расходиться. При знач-и получим числовой ряд Если он сходится, то точка наз-ся точкой сходимости функц-го ряда. Совок-ть всех точек сходимости наз-ся обл-ю сходимости функц-го ряда. Обл-ь сходимости – интервал оси

Пример. Ряд сходится в области При ряд расходится.

Сумма ряда есть ф-я независимой перем-й В примере Эта ф-я есть сумма только при

Частичная сумма первых членов ряда обозначается остаток ряда - Если ряд сходится при каком-либо , то

При конечном числе ф-й интеграл или производная от суммы равна сумме интегралов или производных. Для ряда этого может и не иметь место.

Опред-е. Функц-й ряд наз-ся равномерно сходящимся в обл-ти если выполняется нер-во

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Ряд равномерно сходится в обл-ти если сущ-ет сходящийся числовой ряд такой, что В этом случае ряд наз-т мажорантой ряда или мажорирующим рядом.

Примеры. 1) Т. к. ряд сходится, то ряд сходится равномерно.

2) сходится Сумма ряда равна Эта сходимость равномерная для любой конечной области т. к. растет медленнее Для всей числовой оси сходимость неравномерная, т. к. можно найти такое что