Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости. Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

Уравнение Бернулли для струйки реальной жидкости

Напишем в развернутом виде уравнения Навье-Стокса для установившегося движения ():

(4.29)

Для всех точек на оси струйки согласно уравнениям линии тока

;.

Преобразуем поэтому первое уравнение системы (4.29)

,

а затем умножим на dx.

Тогда, после сокращений, вынесения за скобки и преобразований:

.

Аналогично преобразуем второе и третье уравнения системы (4.29):

;

.

Пусть объемные силы, действующие на жидкость, имеют потенциал Π:

;;.

Сложив и преобразовав эти уравнения, получим

. (4.30)

Второе слагаемое в правой части уравнения (4.30) выражает работу dA, затраченную на преодоление сил вязкости при перемещении единицы массы жидкости на расстояние dS, то есть

.

Перепишем уравнение (4.30) в виде

. (4.31)

Интегрируем (4.31) на участке между сечениями 1-1 и 2-2 (рис. 4.4):

или

. (4.32)

Уравнение (4.32) и есть уравнение Д. Бернулли для струйки реальной жидкости.

Величина A _1-2 = A ₁ -A ₂ - это энергия, потерянная единицей массы жидкости на участке между сечениями 1-1 и 2-2. Определить величину A _1-2 в общем случае трудно из-за сложности интегрирования уравнения Навье-Стокса.

Рассмотрим важный частный случай, когда жидкость движется в поле силы тяжести, и другие массовые силы на неё не действуют. Тогда П= -gz.

Потерянная работа, совершаемая единицей веса жидкости против сил сопротивления при перемещении её из сечения 1-1 в сечение 2–2 (рис. 4.4):

. (4.34)

Как видим, в случае реальной жидкости полный напор вдоль струйки не остаётся постоянным, а убывает в направлении движения.

Рис. 4.4

Поэтому график уравнения Бернулли для струйки реальной жидкости (рис. 4.4) отличается от аналогичного графика для идеальной жидкости (рис. 4.3).

Рассмотрим плавно изменяющийся поток (рис. 4.5). Выберем в живом сечении m-n систему координат x, y, z,направив ось x вдоль оси потока, а ось y - горизонтально.

Углы между линиями тока малы, и поперечные компоненты скорости малы, поэтому можно принять, что Тогда из уравнения неразрывности (3.17) следует, что. Пренебрегая в уравнениях Навье-Стокса (4.29) членами, зависящими от U_y и U_z, получим:

Рис. 4.5

(4.35)

Так как последние два уравнения системы (4.35) не отличаются от уравнений равновесия жидкости (2.7), можно заключить, что при плавно изменяющемся движении в пределах живого сечения потока давление распределяется по гидростатическому закону. При плавно изменяющемся движении в плоскостях, параллельных плоскости y0z, в разных точках живого сечения величины z и p/ρg имеют разные значения, однако их сумма (пьезометрический напор) постоянна:

. (4.36)

В другом живом сечении сумма z+p/ρg будет иная, но постоянная для всех точек сечения. Этот результат позволяет распространить уравнение Бернулли на поток конечных размеров.

Соблюдая условие плавной изменяемости при переходе к потоку жидкости, будем исходить из (4.34). Умножив (4.34) на весовой расход струйки ρgdQ, получим уравнение, выражающее энергию элементарной струйки:

. (4.38)

В (4.38) члены и выражают потенциальную энергию потока (в сечениях 1-1 и 2-2), которой обладает масса жидкости, проходящая через живое сечение в единицу времени.

Потенциальная энергия для произвольного сечения

Члены (4.38) и выражают кинетическую энергию массы жидкости, протекающей через живые сечения 1–1 и 2–2 потока в единицу времени. Рассмотрим эти слагаемые более подробно. Так как для произвольного сечения струйки

, то.

Скорость в отдельной (любой) струйке можно представить в виде суммы средней скорости в живом сечении потокаи её отклонения ε от средней:. Сделав подстановку, получим для кинетической энергии потока:

или

.

Здесь учтено, что, так как, а, так как ε мало и для разных точек сечения имеет разные знаки. Произведена замена и обозначено. Отсюда

.

Величина α - коэффициент Кориолиса (корректив кинетической энергии) - отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, которой обладал бы поток при том же расходе, если бы все частицы жидкости двигались с одной и той же (средней) скоростью. Коэффициент α зависит от степени неравномерности распределения скоростей по сечению. Для ламинарного течения в круглой цилиндрической трубе α=2, для турбулентного α≈1.05÷1.1.

Однако при значительной неравномерности эпюры скоростей коэффициент α может достигать и больших значений.

Последнее в (4.38) слагаемое.

Подставляя полученные выражения в уравнение (4.38), получим:

.

После сокращения на ρgQ

. (4.39)

Выражение (4.39) - уравнение Бернулли для потока однородной вязкой несжимаемой капельной жидкости при установившемся плавно изменяющемся движении.

Уравнение (4.39) выражает закон изменения кинетической энергии применительно к одномерным задачам гидромеханики.

Уравнение (4.39), выведено при условии плавной изменяемости потока в выбранных расчетных сечениях. На участке потока между сечениями это условие может нарушаться.

Последний член правой части уравнения (4.39) выражает усредненную потерю удельной механической энергии (потерю напора) между сечениями 1–1 и 2–2.

Уравнению (4.39) можно дать геометрическую трактовку, построив график (диаграмму) уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости (рис. 4.6).