Угол поворота поперечного сечения бруса. Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса

Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса

В силу принятых допущений касательные напряжения по толщине сечения распределены равномерно и направлены по касательной к средней линии сечения. Остается определить распределение напряжений вдоль контура сечения. Для этого выделим продольным и поперечным сечениями элемент длиной dx (рис. 3.45).

Рисунок 3.45

Запишем уравнение равновесия:

Σx=τ´δ´dx–τ₁´δ₁´dx=0, откуда

τ´δ=τ₁´δ₁

Обобщив, полученное соотношение можно заключить, что произведение касательных усилий на толщину сечения в любой точке контура величина постоянная, т.е. τ´δ =q, где величину q называют потоком касательных усилий.

Рисунок 3.46

Рассмотрим поперечное сечение бруса (рис. 3.46). Крутящий момент, действующий в сечении бруса, как известно, уравновешивается касательными напряжениями:

Так как dF=δ(s)´ds, то

Так как τ(s)´δ(s) величина постоянная, то вынесем произведение за знак интеграла:

Из рисунка 3.46 видно, что:

, где

F_к - площадь фигуры ограниченная средней линией контура.

Таким образом:

M_x=τ(s)´δ(s)´2F_к _, откуда:

(1)

Полученная формула носит название формулы Бредта.

Максимальное касательное напряжение:

Момент сопротивления кручению:

W_кр=δ_min´2F_к

Угол закручивания определим энергетическим методом, согласно которому приравняем работу внешних сил dA потенциальной энергии деформации dU:

dA =dU

Рассмотрим деформированное состояние участка бруса длиной dx (рис. 3.47).

Рисунок 3.47

Так как материал бруса подчиняется закону Гука, то существует линейная зависимость между крутящим моментом M_x и углом закручивания dφ. В этом случае работа внешних сил будет равна:

dA = (1/2) M_x´dφ

Потенциальная энергия деформации dU´, накопленная в элементарном объеме dV = δ (s) ´ ds ´ dx, равна:

dU´= (1/2) τ´ γ ´ dV = (1/2 (τ²/G) ´ δ (s) ´ ds ´ dx

Потенциальная энергия, накопленная во всей рассматриваемой части бруса:

dU =

Подставим и преобразуем:

Так как dA =dU, то:

(1/2)M_x´dφ =,

откуда относительный угол закручивания θ:

Введем обозначение:

- геометрическая жесткость на кручение, тогда:

θ=M_x/GI_кр

Абсолютный угол закручивания участка бруса длиной l:

При постоянной толщине тонкостенного сечения δ:

I_кр = (4F_к δ)/S, где:

S- длина средней линии сечения.

Если толщина изменяется по контуру сечения ступенчато, то:

, где:

n – число ступеней изменения толщины.

Пример 3.5

Лонжерон несущего винта вертолета представляет собой тонкостенную трубу постоянного поперечного сечения (рис 3.48). Длина лонжерона l = 4 м. Толщина сечения на криволинейном участке δ= 1,5мм, толщина вертикальной стенки δ₁= 2,5мм. Длина средней линии сечения трубы на криволинейном участке S = 0.95 м, площадь ограниченная средней линией сечения F_к =0,03 м². Труба выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости на сдвиг G =27,7 10³ МПа. Лонжерон скручивается моментом M_x =7000 Нм. Определить погонное касательное усилие q касательные напряжения в трубе τ, относительный угол закручивания θ и угол поворота торцевых сечений трубы относительно друг друга φ.