Упругая потеря устойчивости прямого стержня, нагруженного осевой нагрузкой. Формула Эйлера

Раздел 2. Упругая потеря устойчивости длинных стержней

Внецентренное сжатие силой, которая не находится ни на одной из главных осей инерции сечения стержня

Рассмотрим теперь случай, когда точка Bприложения внецентренно сжимающей силы Р не находится ни на одной из двух главных осей инерции поперечного сечения, принятых на рисунке. 6.3 за оси z_c и у_c. Если взять m и n за координаты этой точки, то моменты силы Р относительно осей z_c и у_cбудут соответственно равны Р×n и Р×m.

Рисунок 6.3

Используя принцип сложения действия сил, получим напряжение в точке A поперечного сечения:

(1)

Первый член правой части представляет сжимающее напряжение от осевого сжатия, а два другие - напряжения от изгиба, вызываемые соответственно моментами Р×n и Р×m. Можно видеть, что распределение напряжений следует линейному закону. Уравнение нулевой линии напряжений получится приравниванием правой части соотношения (1) нулю.

Введем обозначения:

I_z/F=i_z и I_y/F=i_y - соответствующие радиусы инерции относительно осей z_c и y_с.

Уравнение линии нулевых напряжений:

Подставляя в это уравнение сначала z =0, а затем y =0, мы получаем точки М и N пересечения линии нулевых напряжений с осями координат z_c и y_с. Координаты этих точек r и s будут:

, (2)

Из соотношений (2) находим:

,

Эти соотношения имеют такую же форму, как и соотношения (2), поэтому можно заключить, что когда нагрузка приложена в точке В' с координатами s и r,соответствующей нулевой линией будет линия M'N',показанная на рисунке пунктиром и отсекающая на осях z_c и у_c отрезки m и n.

Впервые эта задача была поставлена и решена великим математиком Л. Эйлером в середине XVIII века. Подход, разработанный Эйлером, позволяет рассмотреть упругую потерю устойчивости следующих типов стержней:

- прямые стержни, нагруженные осевой нагрузкой;

- стержни, нагруженные осевой нагрузкой с эксцентриситетом;

- стержни с первоначальным прогибом;

- стержни, нагруженные осевой и поперечной нагрузками.

Рассматриваются длинные гибкие стержни, изготовленные из однородного, изотропного и упругого материала. При анализе поведения сжатых длинных стержней определяют либо величину критической нагрузки, при которой ось стержня переходит от прямолинейной формы к криволинейной, либо определяют величины напряжений, которые возникают при совместном действии осевой и поперечной нагрузки.

Рассмотрим длинный упругий стержень с шарнирно закрепленными краями нагруженный осевым сжатием. При достижении осевой нагрузки критического значения Р_кр первоначально прямолинейная форма стержня изменится на устойчивую криволинейную форму (рис. 6.4).

Рисунок 6.4

Если прогибы стержня малы, то приближенное дифференциальное уравнение его оси будет иметь такой же вид, как и при поперечном изгибе бруса:

Примем, получим линейное, однородное дифференциальное уравнение:

Общий интеграл уравнения:

Константы А и В определим из граничных условий:

y (0) = 0, y (l) = 0.

Удовлетворив первому условию, получим B = 0, а из второго условия:

A sin αl = 0

Так как A ≠ 0, то:

sin αl = 0

Решение уравнения:

αl = n π, где n = 1, 2, …… m.

Подставим выражение α, получим:

, или

Полученная формула определения критической нагрузки носит название формулы Эйлера. Следует отметить, что выпучивание стержня происходит в сторону наименьшей изгибной жесткости EI, если отсутствует специальные опорные устройства, препятствующие выпучиванию стержня. Поэтому в формулу Эйлера необходимо подставить минимальный, главный центральный момент инерции поперечного сечения стержня I _min.

Формулу Эйлера принято записывать в виде:

, где

I_min - минимальный главный центральный момент инерции сечения;

μ - коэффициент приведения длины, учитывающий характер закрепления концов стержня.

Произведение μl называют приведенной длиной стержня. Коэффициент приведения длины:

где

n - число полуволн синусоиды, по которой изогнется стержень при упругой потере устойчивости. Число n можно оценить на основании анализа деформированного состояния стержня, которое определяется характером закрепления стержня.

Наиболее часто встречающиеся расчетные схемы стержней и соответствующие им значения μ приведены на рисунке 6.5.

Рисунок 6.5

Уравнение упругой линии имеет вид:

Таким образом, упругая линия стержня представляет собой кривую в виде n полуволн.

Анализируя формулу Эйлера можно заметить, что на величину критической силы из всех механических характеристик материала влияет лишь модуль упругости Е. Поскольку модуль упругости для всех марок сталей практически одинаковый, то для повышения запаса устойчивости использование высокопрочных сталей нецелесообразно. Устойчивость стержня определяется также величиной минимального момента инерции сечения I_min, поэтому нет смысла выбирать сечения, у которого минимальный момент инерции сечения значительно отличается от максимального значения, например, швеллер, двутавр. Рациональны те сечения, которые равноустойчивы во всех направлениях и обладают большим моментом инерции при наименьшей площади. С этой точки зрения более рационально кольцевое сечение по сравнению со сплошным круглым сечением, коробчатое по сравнению со сплошным квадратным.