Внутренние силовые факторы в стержнях фермы

Внутренние силовые факторы в сечениях плоской рамы

В сечениях плоской рамы возникают только те силовые факторы, которые действуют в плоскости самой рамы, а именно: изгибающие моменты M_z, перерезывающие силы Q_y, и нормальные силы N. При определении внутренних силовых факторов в сечениях плоской рамы используют те же правила, что и при определении внутренних силовых факторов в сечениях пространственного бруса.

Пример 7.2

Определить в сечениях плоской рамы (рис. 7.12) силовые факторы и построит их эпюры.

Рисунок 7.12

Решение.

Определим реакции опор, для чего отбросим опоры, а их действие заменим неизвестными реакциями Y₁, Y₃ (рис. 7.13).

Рисунок 7.13

Запишем уравнения равновесия:

ΣY= Y₁ + Y₃ – 2qa = 0

Σmom₁ = qa² + Y₃ 2a– 2qa² = 0, откуда

Y₃ = (1/2)qa, Y₁ = (3/2)qa

Проверка:

Σmom₃ = - 3qa² + qa² + 2qa² = 0

2. Поочередно, рассмотрим каждый из участков рамы. Используя метод сечений, вычислим силовые факторы в сечении, отстоящем от начала участка на произвольном расстоянии.

Участок 1-2 (рис. 7.14).

Рисунок 7.14

N_1-2(φ)=-1,5qa sinφ,

N₁(π) = 0, N_1-2(π/2)=-1,5qa N₂(0) =0

Q_1-2(φ) = -1,5qa cosφ,

Q₁(π) = 1,5qa, Q_1-2(π/2) = 0 Q₂(0) = -1,5qa

M_1-2(φ) = 1,5qa a sinφ,

M₁(π) = 0, M_1-2(π/2)= 1,5qa² M₂(0) = 0

Участок 2-3 (рис. 7.15).

Рисунок 7.15

Q_2-3(x) = -0,5qa + qx,

Q₂(2a) = 1,5qa, Q₃(0) = -0,5qa

M_2-3(x) = 0,5qax – (1/2)qx²

M₂(2a) = -qa², M₃(0) = 0

3. Строим эпюры. На рисунке 7.16а построена эпюра нормальных сил, на рисунке. 7.16б построена эпюра перерезывающих сил, а на рисунке 11.16в построены эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Рисунок 7.16

Конструкции ферменного типа широко используются в авиационных конструкциях. При определении внутренних силовых факторов в статически определимых фермах принимают следующие допущения:

- стержни в ферме выполнены прямыми, все они лежат в одной плоскости и не имеют веса;

- соединения стержней в ферме выполнены шарнирными, т.е. они допускают относительный поворот, при этом оси всех стержней в соединении пересекаются в одной точке и она совпадает с осью шарнира;

- трение в шарнирах пренебрежительно мало;

- внешние силы, действующие на фермы, приложены только в узлах, т.е. в точках шарнирного соединения стержней; все нагрузки приложены только в плоскости фермы.

Так как внешние силы, действующие на фермы, приложены в узлах, т.е. в точках шарнирного соединения стержней, и трение в шарнирах отсутствует, то усилия на стержни действуют вдоль их осей. Фермы в большинстве случаев имеют несколько узлов, опирающихся на другие элементы конструкции. Опорные узлы предполагаются шарнирными. В статически определимых фермах усилия в стержнях полностью определяются условиями равновесия. Расчет усилий в стержнях проводится методом сечений. Так как стержневая система находится в равновесии, то и каждый узел, выделенный из системы, также должен находится в равновесии. Система нагрузок, действующая на каждый из выделенных узлов, пересекается в общей точке, поэтому для каждого узла плоской системы можно составить только два уравнения равновесия. Следовательно, для статически определимой системы в каждом узле может существовать только два неизвестных усилия. Таким образом, процедура определения усилий в стержнях статически определимой плоской стержневой системы заключается в выделении первым узла, в котором существует только два неизвестных, и далее поочередно выделяются узлы таким образом, чтобы при каждом новом выделении добавлялось не более двух новых неизвестных. Метод носит название метода «узлов». Сущность метода поясним примером. На рис. 7.17 приведена схема фермы, в стержнях которой необходимо определить усилия.

Рисунок 7.17

1. Пронумеруем стержни от 1 до 9, а также пронумеруем узлы от 1 до 5 в порядке их выделения.

2. Методом сечений выделяем поочередно узлы и добавляем внешние усилия и неизвестные усилия в стержнях. Составляем уравнения равновесия и из них определяем неизвестные усилия в стержнях.

Узел 1 (рис. 7.18)

Рисунок 7.18

Σx = -N₁ – N₂ cosα – 500 = 0

Σy = -N₂ sinα – 1000 = 0, откуда

N₂ = -1000/sinα = -1000/0,8 = -1250 кг

N₁ = 1250 cosα – 500 = 1250×0,6 – 500 =250 кг

= 0,8 cosα = 750/1250 = 0,6

Узел 2 (рис. 7.19)

Рисунок 7.19

Σx = -N₄ + 250 = 0

Σy = -N₃ – 500 = 0, откуда

N₃ = – 500 кг